习题 2.33

设 $X$ 为赋范空间, $N$ 为 $X^{\prime }$ 的非空子集, 令 $N^{\perp }=\{x\in X$ : 任取 $f\in N$, 都有 $f(x)=0\}$. 求证: $N^{\perp }$ 为 $X$ 的闭线性子空间. 求 ${\left(X^{\prime }\right)}^{\perp }$ 和 $\{0{\}}^{\perp }$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：

首先证明 $N^{\perp }$ 是 $X$ 的线性子空间。

• $0\in N^{\perp }$，因为对任意 $f\in N$，$f(0)=0$，故 $N^{\perp }\ne \varnothing$。
• 若 $x,y\in N^{\perp }$，$\alpha ,\beta \in \mathbb{K}$（标量域），则对任意 $f\in N$ 有 $f(x)=0$，$f(y)=0$。于是
  $$f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)=0,$$
  故 $\alpha x+\beta y\in N^{\perp }$。因此 $N^{\perp }$ 是线性子空间。

再证明 $N^{\perp }$ 是闭的。
设 $\{x_n\}\subset N^{\perp }$ 且 $x_n\to x\in X$。对任意 $f\in N$，由于 $f$ 连续，有
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }0=0.$$
因此 $x\in N^{\perp }$，故 $N^{\perp }$ 是闭的。

计算：

• $(X^{\prime }{)}^{\perp }=\{x\in X:\forall f\in X^{\prime },f(x)=0\}$。
  由 Hahn-Banach 定理，若 $x\ne 0$，则存在 $f\in X^{\prime }$ 使得 $f(x)=\Vert x\Vert \ne 0$。从而只有 $x=0$ 满足条件，故 $(X^{\prime }{)}^{\perp }=\{0\}$。
• $\{0{\}}^{\perp }=\{x\in X:\forall f\in \{0\},f(x)=0\}$。
  条件“对任意 $f\in \{0\}$，$f(x)=0$”空真成立，故所有 $x\in X$ 均满足，因此 $\{0{\}}^{\perp }=X$。

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