习题 2.32

设 $X$ 为赋范空间, $M$ 为 $X$ 的非空子集. 定义 $M$ 的零化子为 $${}^{\perp }M=\left\{f\in X^{\prime }:{f|}_M=0\right\}.$$ 求证: ${}^{\perp }M$ 为 $X^{\prime }$ 的闭线性子空间. 求 ${}^{\perp }X$ 和 ${}^{\perp }\{0\}$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：
首先证明 ${}^{\perp }M$ 是 $X^{\prime }$ 的线性子空间。
任取 $f,g\in {}^{\perp }M$ 及标量 $\alpha ,\beta$，则对任意 $x\in M$，
$$(\alpha f+\beta g)(x)=\alpha f(x)+\beta g(x)=\alpha \cdot 0+\beta \cdot 0=0,$$ 故 $\alpha f+\beta g\in {}^{\perp }M$，因此 ${}^{\perp }M$ 是线性子空间。

再证 ${}^{\perp }M$ 是闭的。
设 $\{f_n\}\subset {}^{\perp }M$ 且 $f_n\to f$ 于 $X^{\prime }$（即按算子范数收敛）。
对任意 $x\in M$，由范数收敛可得
$$|f_n(x)-f(x)|\le \Vert f_n-f\Vert \Vert x\Vert \to 0(n\to \infty ),$$ 从而 $f_n(x)\to f(x)$。但 $f_n(x)=0$，故 $f(x)=0$，即 $f{|}_M=0$，因此 $f\in {}^{\perp }M$。
所以 ${}^{\perp }M$ 是闭的。

求值：

• ${}^{\perp }X=\{f\in X^{\prime }:f{|}_X=0\}$，满足此条件的只有零泛函，故 ${}^{\perp }X=\{0\}$。
• ${}^{\perp }\{0\}=\{f\in X^{\prime }:f(0)=0\}$，而任何线性泛函在 $0$ 处均为 $0$，故 ${}^{\perp }\{0\}=X^{\prime }$。