习题 2.31

设 $X$ 为无穷维赋范空间, $Y$ 为非零赋范空间. 求证: 存在线性算子 $T:X\to Y$, 使得 $T\notin B(X,Y)$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明

由于 $X$ 是无穷维赋范空间，可以取出一列线性无关的向量 $(x_n{)}_{n=1}^{\infty }\subset X$。对每个 $x_n$ 归一化，令
$$e_n=\frac{x_n}{\Vert x_n\Vert },$$
则 $\{e_n\}$ 仍线性无关且 $\Vert e_n\Vert =1$。

取 $Y$ 中任意非零元 $y_0\ne 0$。

构造线性泛函 $f:X\to \mathbb{K}$（$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）如下：
将 $\{e_n\}$ 扩充为 $X$ 的一个 Hamel 基 $\mathcal{B}$（这需要选择公理，例如 Zorn 引理）。定义
$$f(b)=\{\begin{array}{ll}n,& b=e_n(n\in \mathbb{N}),\\ 0,& b\in \mathcal{B}\setminus \{e_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}.\end{array}$$
对任意 $x\in X$，将其唯一表示为 $\mathcal{B}$ 中有限个元素的线性组合，并令 $f(x)$ 为相应的线性组合（即线性扩张）。由线性扩张的唯一性知 $f$ 是良定义的线性泛函。

由于对每个 $n$ 有 $\Vert e_n\Vert =1$ 且 $|f(e_n)|=n$，因此
$$\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }|f(x)|=\infty ,$$
即 $f$ 不是有界的。

现在定义算子 $T:X\to Y$ 为
$$T(x)=f(x)y_0,x\in X.$$
显然 $T$ 是线性的。并且对每个 $n$，
$$\Vert T(e_n)\Vert =|f(e_n)|\cdot \Vert y_0\Vert =n\Vert y_0\Vert .$$
因为 $\Vert e_n\Vert =1$，所以
$$\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }\Vert T(x)\Vert \ge n\Vert y_0\Vert (\forall n\in \mathbb{N}),$$
从而 ${\sup }_{\Vert x\Vert =1}\Vert T(x)\Vert =\infty$。故 $T$ 不是有界线性算子，即 $T\notin B(X,Y)$。

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