习题 2.30

在 $C[0,1]$ 上分别赋予范数 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 和 $\Vert \cdot {\Vert }_2$, 考虑 $T:C[0,1]\to C[0,1]$, $(Tx)(t)=t^{2}x(t)$.

(1) 求证: $T\in B\left(\left(C[0,1],\Vert \cdot {\Vert }_2\right),\left(C[0,1],\Vert \cdot {\Vert }_2\right)\right)$. 求 $\Vert T\Vert$;

(2) 求证: $T\in B\left(\left(C[0,1],\Vert \cdot {\Vert }_2\right),\left(C[0,1],\Vert \cdot {\Vert }_1\right)\right)$. 求 $\Vert T\Vert$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

解答

(1) 考虑空间 $X=C[0,1]$ 赋以范数 $\Vert x{\Vert }_2={\left({\int }_0^1|x(t){|}^{2}dt\right)}^{1/2}$。定义算子 $(Tx)(t)=t^{2}x(t)$。

有界性：对任意 $x\in X$， $$\Vert Tx{\Vert }_2^2={\int }_0^1{t}^4|x(t){|}^{2}dt\le {\int }_0^1|x(t){|}^{2}dt=\Vert x{\Vert }_2^2,$$ 故 $\Vert Tx{\Vert }_2\le \Vert x{\Vert }_2$，即 $T$ 有界且 $\Vert T\Vert \le 1$。

算子范数：下证 $\Vert T\Vert =1$。对任意正整数 $n$，取 $\delta =1/n$，构造连续函数 $x_n\in X$ 满足：

• $x_n(t)\ge 0$，
• $\mathrm{supp}{x}_n\subseteq [1-\delta ,1]$，
• $\Vert x_n{\Vert }_2=1$。

（例如，令 $x_n(t)=0$ 当 $t\le 1-\delta$，在 $[1-\delta ,1]$ 上用线性连接使其连续，再乘以常数使 $L^2$ 范数为 $1$。）于是 $$\Vert T{x}_n{\Vert }_2^2={\int }_{1-\delta }^1{t}^4{x}_n(t{)}^{2}dt\ge (1-\delta {)}^4{\int }_{1-\delta }^1{x}_n(t{)}^{2}dt=(1-\delta {)}^4.$$ 从而 $$\frac{\Vert T{x}_n{\Vert }_2}{\Vert x_n{\Vert }_2}\ge (1-\delta {)}^2={\left(1-\frac{1}{n}\right)}^2\to 1(n\to \infty ).$$ 因此 $\Vert T\Vert \ge 1$，结合上界得 $\Vert T\Vert =1$。

(2) 现在考虑 $T:(C[0,1],\Vert \cdot {\Vert }_2)\to (C[0,1],\Vert \cdot {\Vert }_1)$，其中 $\Vert x{\Vert }_1={\int }_0^1|x(t)|dt$。

有界性：对任意 $x\in X$，由 Cauchy–Schwarz 不等式， $$\Vert Tx{\Vert }_1={\int }_0^1{t}^2|x(t)|dt\le {\left({\int }_0^1{t}^{4}dt\right)}^{1/2}{\left({\int }_0^1|x(t){|}^{2}dt\right)}^{1/2}=\frac{1}{\sqrt{5}}\Vert x{\Vert }_2.$$ 故 $T$ 有界且 $\Vert T\Vert \le 1/\sqrt{5}$。

算子范数：取函数 $x_0(t)=\sqrt{5}{t}^2$，则 $x_0\in X$，且 $$\Vert x_0{\Vert }_2^2={\int }_0^{1}5t^{4}dt=5\cdot \frac{1}{5}=1,\Vert x_0{\Vert }_2=1.$$ 计算 $$\Vert T{x}_0{\Vert }_1={\int }_0^1{t}^2\cdot \sqrt{5}{t}^{2}dt=\sqrt{5}{\int }_0^1{t}^{4}dt=\sqrt{5}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{\sqrt{5}}.$$ 于是 $$\frac{\Vert T{x}_0{\Vert }_1}{\Vert x_0{\Vert }_2}=\frac{1}{\sqrt{5}}.$$ 因此 $\Vert T\Vert \ge 1/\sqrt{5}$，结合上界得 $\Vert T\Vert =1/\sqrt{5}$。

综上所述， $$(1)\Vert T\Vert =1,(2)\Vert T\Vert =\frac{1}{\sqrt{5}}.$$