习题 2.29

设 $X$ 为赋范空间 $,f\in X^{\prime },f\ne 0$. 若 $$\alpha =\underset{x\in X,f(x)=1}{\inf }\Vert x\Vert .$$ 求证: $\Vert f\Vert =\frac{1}{\alpha }$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

由 $f\ne 0$ 知存在 $y\in X$ 使得 $f(y)\ne 0$, 令 $x_0=y/f(y)$ 则 $f(x_0)=1$, 因此集合 $S=\{x\in X:f(x)=1\}$ 非空, $\alpha ={\inf }_{x\in S}\Vert x\Vert$ 是良定义的.

先证 $\alpha \ge 1/\Vert f\Vert$: 对任意 $x\in S$, 有 $1=|f(x)|\le \Vert f\Vert \Vert x\Vert$, 故 $\Vert x\Vert \ge 1/\Vert f\Vert$, 从而下确界 $\alpha \ge 1/\Vert f\Vert$.

再证 $\alpha \le 1/\Vert f\Vert$: 由对偶范数定义 $\Vert f\Vert ={\sup }_{\Vert z\Vert =1}|f(z)|$, 存在序列 $\{y_n\}\subset X$, $\Vert y_n\Vert =1$, 使得 $|f(y_n)|\to \Vert f\Vert (n\to \infty )$. 因为 $\Vert f\Vert >0$, 故当 $n$ 充分大时 $f(y_n)\ne 0$. 令 $x_n=y_n/f(y_n)$, 则 $f(x_n)=1$, 即 $x_n\in S$, 且 $$\Vert x_n\Vert =\frac{\Vert y_n\Vert }{|f(y_n)|}=\frac{1}{|f(y_n)|}\to \frac{1}{\Vert f\Vert }(n\to \infty ).$$ 由于 $\alpha$ 是 $S$ 中元素范数的下确界, 对每个 $n$ 有 $\alpha \le \Vert x_n\Vert$, 从而 $$\alpha \le \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}\Vert x_n\Vert =\frac{1}{\Vert f\Vert }.$$

综合两方面得 $\alpha =1/\Vert f\Vert$, 即 $\Vert f\Vert =1/\alpha$. $\square$