习题 2.28

设 $X$ 为 $n$ 维线性空间, $Z$ 为 $X$ 的真线性子空间, $x_0\in X\setminus Z$. 求证: 存在 $X$ 上的线性泛函 $f$, 使得 $f\left(x_0\right)=1,{f|}_z=0$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明 由于 $X$ 是 $n$ 维线性空间，$Z$ 为其真子空间，故 $\dim Z=m<n$。取 $Z$ 的一组基 $\{z_1,\dots ,z_m\}$。因 $x_0\notin Z$，向量组 $\{z_1,\dots ,z_m,x_0\}$ 线性无关（否则 $x_0$ 可由 $Z$ 的基线性表示，矛盾）。将其扩充为 $X$ 的一组基 $$\{z_1,\dots ,z_m,x_0,v_{m+2},\dots ,v_n\}.$$

定义 $f:X\to \mathbb{K}$（$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）如下：在基上规定 $$f(z_i)=0(i=1,\dots ,m),f(x_0)=1,f(v_j)=0(j=m+2,\dots ,n),$$ 并线性延拓至整个 $X$，即对任意 $$x=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{z}_i+\beta x_0+\sum _{j=m+2}^n{\gamma }_j{v}_j,$$ 令 $f(x)=\beta$。

显然 $f$ 是线性泛函。若 $x\in Z$，则 $x$ 可表为 ${\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i{z}_i$，此时 $\beta =0$，故 $f(x)=0$，即 ${f|}_Z=0$。又 $f(x_0)=1$。因此满足要求的线性泛函存在。