习题 2.27

设 $X$ 为赋范空间, $f,g\in X^{\prime }$. 求证: $N(f)=N(g)$ 当且仅当存在非零常数 $\alpha \in \mathbb{K}$, 使得 $f=\alpha g$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明
设 $X$ 为赋范空间，$f,g\in X^{\prime }$ 是连续线性泛函。

充分性
若存在非零常数 $\alpha \in \mathbb{K}$ 使得 $f=\alpha g$，则对任意 $x\in X$ 有 $f(x)=\alpha g(x)$。因此 $$x\in N(f)⟺f(x)=0⟺\alpha g(x)=0⟺g(x)=0⟺x\in N(g),$$ 故 $N(f)=N(g)$。

必要性
假设 $N(f)=N(g)$。分情况讨论。

1. $f=0$ 的情形
   此时 $N(f)=X$，由条件 $N(g)=X$，从而 $g(x)=0$ 对所有 $x\in X$ 成立，即 $g=0$。取任意非零 $\alpha \in \mathbb{K}$，有 $f=0=\alpha \cdot 0=\alpha g$。

2. $g=0$ 的情形
   类似可得 $f=0$，取非零 $\alpha$ 即得 $f=\alpha g$。

3. $f\ne 0$ 且 $g\ne 0$ 的情形
   由于 $g\ne 0$，存在 $x_0\in X$ 使得 $g(x_0)\ne 0$。令 $$\alpha =\frac{f(x_0)}{g(x_0)}.$$ 对任意 $x\in X$，构造 $$y=x-\frac{g(x)}{g(x_0)}{x}_0.$$ 则 $$g(y)=g(x)-\frac{g(x)}{g(x_0)}g(x_0)=0,$$ 即 $y\in N(g)$。由 $N(g)=N(f)$ 得 $y\in N(f)$，故 $f(y)=0$。于是 $$f(x)-\frac{g(x)}{g(x_0)}f(x_0)=0⟹f(x)=\alpha g(x).$$ 因此 $f=\alpha g$。若 $\alpha =0$，则 $f=0$，与 $f\ne 0$ 矛盾，故 $\alpha \ne 0$。

综合上述情形，总有非零常数 $\alpha \in \mathbb{K}$ 使 $f=\alpha g$。∎