习题 2.26

在 $C[0,1]$ 上赋予范数 $\Vert \cdot {\Vert }_1$, 令 $$f(x)={\int }_0^{1}sx(s)\mathrm{d}s,x\in C[0,1].$$ 求证: $f\in C[0,1{]}^{\prime }$. 求 $\Vert f\Vert$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明 首先验证 $f$ 是线性泛函。对任意 $x,y\in C[0,1]$ 和 $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$， $$f(\alpha x+\beta y)={\int }_0^{1}s(\alpha x(s)+\beta y(s))\mathrm{d}s=\alpha {\int }_0^{1}sx(s)\mathrm{d}s+\beta {\int }_0^{1}sy(s)\mathrm{d}s=\alpha f(x)+\beta f(y),$$ 故 $f$ 是线性的。

其次证明 $f$ 有界（即连续）。对任意 $x\in C[0,1]$， $$|f(x)|=\left|{\int }_0^{1}sx(s)\mathrm{d}s\right|\le {\int }_0^{1}s|x(s)|\mathrm{d}s\le {\int }_0^1|x(s)|\mathrm{d}s=\Vert x{\Vert }_1.$$ 因此 $f$ 是有界线性泛函，且 $\Vert f\Vert \le 1$。

最后计算 $\Vert f\Vert$ 的确切值。取函数列 $x_n(s)=n{s}^{n-1}$，$n\in \mathbb{N}$。显然 $x_n\in C[0,1]$，并且 $$\Vert x_n{\Vert }_1={\int }_0^{1}n{s}^{n-1}\mathrm{d}s=1.$$ 计算 $$f(x_n)={\int }_0^{1}s\cdot n{s}^{n-1}\mathrm{d}s=n{\int }_0^1{s}^n\mathrm{d}s=\frac{n}{n+1}.$$ 于是 $$\Vert f\Vert =\underset{\Vert x{\Vert }_1\le 1}{\sup }|f(x)|\ge |f(x_n)|=\frac{n}{n+1}(\forall n\in \mathbb{N}).$$ 令 $n\to \infty$ 得 $\Vert f\Vert \ge 1$。结合 $\Vert f\Vert \le 1$ 即得 $\Vert f\Vert =1$。

综上所述，$f\in C[0,1{]}^{\prime }$ 且 $\Vert f\Vert =1$。