习题 2.25

设 $X,Y$ 为赋范空间, $X\ne \{0\}$, 假设 $B(X,Y)$ 为 Banach 空间. 求证: $Y$ 也为 Banach 空间.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：
设 $X,Y$ 为赋范空间且 $X\ne \{0\}$, $B(X,Y)$ 按算子范数构成 Banach 空间. 下证 $Y$ 完备.

1. 选取非零元及连续线性泛函
   由于 $X\ne \{0\}$, 取 $x_0\in X$, $x_0\ne 0$. 不妨设 $\Vert x_0\Vert =1$ (否则用 $\frac{x_0}{\Vert x_0\Vert }$ 代替).
   考虑一维子空间 $\mathrm{span}\{x_0\}$ 上的线性泛函 $g(\alpha x_0)=\alpha$. 易见 $\Vert g\Vert =1$. 由 Hahn-Banach 定理, 存在 $f\in X^{\ast }$ 延拓 $g$ 且 $\Vert f\Vert =\Vert g\Vert =1$, 特别地 $f(x_0)=1$.

2. 利用 $Y$ 的 Cauchy 列构造 $B(X,Y)$ 的 Cauchy 列
   设 $\{y_n\}\subset Y$ 是一个 Cauchy 列. 对每个 $n\in \mathbb{N}$, 定义算子 $T_n:X\to Y$ 为
   $$T_n(x)=f(x)y_n,\forall x\in X.$$ $T_n$ 显然是线性的, 且对任意 $x\in X$ 有 $\Vert T_n(x)\Vert =|f(x)|\Vert y_n\Vert \le \Vert f\Vert \Vert x\Vert \Vert y_n\Vert =\Vert x\Vert \Vert y_n\Vert$, 故 $T_n\in B(X,Y)$ 且 $\Vert T_n\Vert \le \Vert y_n\Vert$. 又由 $f(x_0)=1$ 得 $\Vert T_n(x_0)\Vert =\Vert y_n\Vert$, 所以 $\Vert T_n\Vert =\Vert y_n\Vert$.

   对任意 $m,n\in \mathbb{N}$, $$\Vert T_n-T_m\Vert =\underset{\Vert x\Vert \le 1}{\sup }\Vert (T_n-T_m)(x)\Vert =\underset{\Vert x\Vert \le 1}{\sup }|f(x)|\Vert y_n-y_m\Vert =\Vert f\Vert \Vert y_n-y_m\Vert =\Vert y_n-y_m\Vert .$$ 因为 $\{y_n\}$ 是 Cauchy 列, 所以 $\{T_n\}$ 是 $B(X,Y)$ 中的 Cauchy 列.

3. 利用 $B(X,Y)$ 的完备性得到极限算子
   由假设 $B(X,Y)$ 是 Banach 空间, 故存在 $T\in B(X,Y)$ 使得 $\Vert T_n-T\Vert \to 0$.

4. 得出 $y_n$ 收敛
   由于算子范数收敛蕴含逐点收敛, 特别取 $x_0$ 得
   $$\Vert y_n-T(x_0)\Vert =\Vert T_n(x_0)-T(x_0)\Vert \le \Vert T_n-T\Vert \Vert x_0\Vert =\Vert T_n-T\Vert \to 0.$$ 因此 $y_n\to T(x_0)$ 于 $Y$ 中.

5. 结论
   $Y$ 中任意 Cauchy 列均收敛, 故 $Y$ 是完备的, 即为 Banach 空间. ∎