习题 2.24

设 $1\le p<\infty ,\alpha =\left\{{\alpha }_n\right\}\in {\ell }^{\infty }$. 任取 $x=\left\{x_n\right\}\in {\ell }^p$, 定义 $Tx=\left\{{\alpha }_n{x}_n\right\}$. 求证 : $Tx\in {\ell }^p$, 且 $T\in B\left({\ell }^p\right)$. 求 $\Vert T\Vert$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明： 设 $M=\Vert \alpha {\Vert }_{\infty }={\sup }_{n\in \mathbb{N}}|{\alpha }_n|<\infty$。

1. $Tx\in {\ell }^p$ 且 $T$ 有界线性：
   对任意 $x=\{x_n\}\in {\ell }^p$， $$\Vert Tx{\Vert }_p^p=\sum _{n=1}^{\infty }|{\alpha }_n{x}_n{|}^p\le \sum _{n=1}^{\infty }{M}^p|x_n{|}^p=M^p\Vert x{\Vert }_p^p<\infty ,$$ 故 $Tx\in {\ell }^p$，且 $\Vert Tx{\Vert }_p\le M\Vert x{\Vert }_p$。线性性是显然的：对 $\lambda ,\mu \in \mathbb{C}$ 和 $x,y\in {\ell }^p$， $$T(\lambda x+\mu y)=\{{\alpha }_n(\lambda x_n+\mu y_n)\}=\lambda \{{\alpha }_n{x}_n\}+\mu \{{\alpha }_n{y}_n\}=\lambda Tx+\mu Ty.$$ 因此 $T\in B({\ell }^p)$，且 $\Vert T\Vert \le M$。

2. 求 $\Vert T\Vert$：
   下证 $\Vert T\Vert \ge M$。任给 $\epsilon >0$，由 $M={\sup }_n|{\alpha }_n|$ 知存在 $n_0$ 使得 $|{\alpha }_{n_0}|>M-\epsilon$。取 $x=e_{n_0}$，即第 $n_0$ 个分量为 $1$、其余为 $0$ 的序列，则 $\Vert x{\Vert }_p=1$，且 $$Tx=\{{\alpha }_n{\delta }_{n{n}_0}\}={\alpha }_{n_0}{e}_{n_0},$$ 从而 $\Vert Tx{\Vert }_p=|{\alpha }_{n_0}|>M-\epsilon$。由算子范数定义， $$\Vert T\Vert =\underset{\Vert x{\Vert }_p=1}{\sup }\Vert Tx{\Vert }_p\ge \Vert Tx{\Vert }_p>M-\epsilon .$$ 令 $\epsilon \to 0^{+}$ 即得 $\Vert T\Vert \ge M$。

   结合 $\Vert T\Vert \le M$，得到 $\Vert T\Vert =M=\Vert \alpha {\Vert }_{\infty }$。