习题 2.23

$C[a,b]$ 上的线性泛函 $f$ 称为正泛函, 如果任取 $x\in C[a,b]$ 满足任取 $t\in [a,b]$, $x(t)\ge 0$, 都有 $f(x)\ge 0$. 求证: $f$ 为正线性泛函当且仅当 $f$ 为连续线性泛函且 $\Vert f\Vert =f(1)$, 此处 $1\in C[a,b]$ 表示 $[a,b]$ 上恒为 1 的连续函数.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：设 $C[a,b]$ 为区间 $[a,b]$ 上的实值连续函数空间，赋予上确界范数 $\Vert x\Vert ={\max }_{t\in [a,b]}|x(t)|$，$f:C[a,b]\to \mathbb{R}$ 为线性泛函。

$(\Rightarrow )$ 设 $f$ 为正线性泛函。

由于常数函数 $1$ 满足 $1(t)\equiv 1\ge 0$，故 $f(1)\ge 0$。

对任意 $x\in C[a,b]$，记 $M=\Vert x\Vert$。则对每个 $t\in [a,b]$ 有 $-M\le x(t)\le M$，从而 $$M-x(t)\ge 0,M+x(t)\ge 0.$$ 由正性得 $$f(M-x)=Mf(1)-f(x)\ge 0,f(M+x)=Mf(1)+f(x)\ge 0,$$ 故 $$-Mf(1)\le f(x)\le Mf(1),\text{即}|f(x)|\le f(1)\Vert x\Vert .$$ 因此 $f$ 有界（连续），且 $\Vert f\Vert \le f(1)$。另一方面，由范数定义， $$|f(1)|\le \Vert f\Vert \cdot \Vert 1\Vert =\Vert f\Vert ,$$ 而 $|f(1)|=f(1)$，所以 $\Vert f\Vert =f(1)$。

$(\Leftarrow )$ 设 $f$ 连续且 $\Vert f\Vert =f(1)$。

若 $\Vert f\Vert =0$，则 $f=0$，显然为正泛函。下设 $\Vert f\Vert >0$，从而 $f(1)=\Vert f\Vert >0$。

用反证法。假设存在 $x_0\in C[a,b]$ 满足 $x_0(t)\ge 0(\forall t)$，但 $f(x_0)<0$。由于 $f(x_0)<0$，$x_0$ 不恒为零，故 $M:=\Vert x_0\Vert >0$。取 $\lambda =1/M$，构造 $$y=1-\lambda x_0.$$ 因为 $0\le \lambda x_0(t)\le 1$，所以 $0\le y(t)\le 1$，从而 $\Vert y\Vert \le 1$。

计算 $$f(y)=f(1)-\lambda f(x_0)=\Vert f\Vert -\lambda f(x_0).$$ 由于 $f(x_0)<0$，$-\lambda f(x_0)>0$，于是 $f(y)>\Vert f\Vert$。但由范数定义，对任意 $\Vert z\Vert \le 1$ 应有 $|f(z)|\le \Vert f\Vert$，特别地 $|f(y)|=f(y)>\Vert f\Vert$，矛盾。

因此假设不成立，故对一切非负连续函数 $x$ 都有 $f(x)\ge 0$，即 $f$ 为正线性泛函。

综上，$f$ 为正线性泛函当且仅当 $f$ 连续且 $\Vert f\Vert =f(1)$。