习题 2.22

在 $C[-1,1]$ 上定义线性泛函 $$f(x)={\int }_{-1}^{0}x(t)\mathrm{d}t-{\int }_0^{1}x(t)\mathrm{d}t,x\in C[-1,1].$$ 求证: $f\in C[-1,1{]}^{\prime }$. 求 $\Vert f\Vert$. 问: 存在 $x\in C[-1,1]$, 使得 $\Vert x\Vert {\Vert }_{\infty }=1,|f(x)|=$ $\Vert f\Vert$ 吗?

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：首先验证 $f$ 是线性泛函，显然。下面证明 $f$ 有界，并求其范数。

对任意 $x\in C[-1,1]$，有 $$|f(x)|=\left|{\int }_{-1}^{0}x(t)\mathrm{d}t-{\int }_0^{1}x(t)\mathrm{d}t\right|\le {\int }_{-1}^0|x(t)|\mathrm{d}t+{\int }_0^1|x(t)|\mathrm{d}t\le \Vert x{\Vert }_{\infty }\left({\int }_{-1}^{0}1\mathrm{d}t+{\int }_0^{1}1\mathrm{d}t\right)=2\Vert x{\Vert }_{\infty },$$ 故 $f$ 是有界线性泛函，且 $\Vert f\Vert \le 2$。

为证 $\Vert f\Vert =2$，构造一列函数 $\{x_n\}\subset C[-1,1]$（$n\ge 2$）如下： $$x_n(t)=\{\begin{array}{ll}1,& -1\le t\le -\frac{1}{n},\\ -nt,& -\frac{1}{n}<t<\frac{1}{n},\\ -1,& \frac{1}{n}\le t\le 1.\end{array}$$ 易见 $\Vert x_n{\Vert }_{\infty }=1$。计算 \begin{align*} \int_{-1}^0 x_n(t),\mathrm{d}t &=\int_{-1}^{-1/n}1,\mathrm{d}t+\int_{-1/n}^0(-nt),\mathrm{d}t = \left(1-\frac1n\right) + \frac{1}{2n}=1-\frac{1}{2n},\ \int_0^1 x_n(t),\mathrm{d}t &=\int_0^{1/n}(-nt),\mathrm{d}t+\int_{1/n}^1(-1),\mathrm{d}t = -\frac{1}{2n}+\left(-1+\frac1n\right)=-1+\frac{1}{2n}. \end{align*} 于是 $$f(x_n)=\left(1-\frac{1}{2n}\right)-\left(-1+\frac{1}{2n}\right)=2-\frac{1}{n}.$$ 因此 $|f(x_n)|=2-\frac{1}{n}\to 2$，从而 $\Vert f\Vert \ge 2$。结合上界得 $\Vert f\Vert =2$。

是否存在 $x\in C[-1,1]$ 使得 $\Vert x{\Vert }_{\infty }=1$ 且 $|f(x)|=\Vert f\Vert =2$？
假设存在这样的 $x$。记 $$A={\int }_{-1}^{0}x(t)\mathrm{d}t,B={\int }_0^{1}x(t)\mathrm{d}t,$$ 则 $|A-B|=2$。由于 $|A|\le {\int }_{-1}^0|x(t)|\mathrm{d}t\le 1$，$|B|\le {\int }_0^1|x(t)|\mathrm{d}t\le 1$，故 $|A-B|\le |A|+|B|\le 2$。等号成立必须满足 $|A|=1$，$|B|=1$ 且 $A$ 与 $B$ 异号。

由 $|A|=1$ 及 ${\int }_{-1}^0|x(t)|\mathrm{d}t\le 1$ 知 ${\int }_{-1}^0|x(t)|\mathrm{d}t=1$。又因 $|x(t)|\le 1$ 且 $x$ 连续，若存在 $t_0\in [-1,0]$ 使 $|x(t_0)|<1$，则由连续性知存在邻域上 $|x|<1$，从而积分严格小于 $1$。因此必须在整个 $[-1,0]$ 上 $|x(t)|=1$。同理，在 $[0,1]$ 上也有 $|x(t)|=1$。

连续函数在闭区间上只取 $\pm 1$，故在 $[-1,0]$ 上 $x(t)$ 恒为 $1$ 或恒为 $-1$；在 $[0,1]$ 上也恒为 $1$ 或恒为 $-1$。若 $A=1$，则 $x$ 在 $[-1,0]$ 上恒为 $1$；若 $A=-1$，则恒为 $-1$。同理 $B=\pm 1$。为使 $A$ 与 $B$ 异号，必须一端为 $1$ 另一端为 $-1$。但此时 $x$ 在 $t=0$ 处左、右极限分别为 $\pm 1$，不相等，与 $x$ 在 $0$ 处连续矛盾。因此这样的 $x$ 不存在。

综上所述，$f\in C[-1,1{]}^{\prime }$，$\Vert f\Vert =2$，但不存在范数为 $1$ 的连续函数 $x$ 使 $|f(x)|=2$。