习题 2.21

设 $X,Y$ 为赋范空间, $T:X\to Y$ 为线性算子. 求证: $T$ 不为连续映射当且仅当存在 $x_n\in X$, 使得 $x_n\to 0$, 但 $\Vert T{x}_n\Vert \to \infty$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明

设 $X$ 和 $Y$ 为赋范空间，$T:X\to Y$ 为线性算子。

充分性（⇐）：
若存在序列 $\{x_n\}\subset X$ 使得 $x_n\to 0$ 但 $\Vert T{x}_n\Vert \to \infty$，则 $T$ 不连续。
这是因为若 $T$ 连续，则由 $x_n\to 0$ 可得 $T{x}_n\to T0=0$，从而 $\Vert T{x}_n\Vert \to 0$，与 $\Vert T{x}_n\Vert \to \infty$ 矛盾。

必要性（⇒）：
设 $T$ 不连续。对线性算子而言，连续性等价于有界性，故 $T$ 无界，即
$$\forall M>0,\exists x\in X,x\ne 0,\Vert Tx\Vert >M\Vert x\Vert .$$
特别地，对每个 $n\in \mathbb{N}$，取 $M=n$，存在 $y_n\in X$, $y_n\ne 0$，使得
$$\Vert T{y}_n\Vert >n\Vert y_n\Vert .$$
令 $u_n=\frac{y_n}{\Vert y_n\Vert }$，则 $\Vert u_n\Vert =1$，且
$$\Vert T{u}_n\Vert =\frac{\Vert T{y}_n\Vert }{\Vert y_n\Vert }>n.$$
再定义
$$x_n=\frac{u_n}{\sqrt{n}}.$$
于是
$$\Vert x_n\Vert =\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0(n\to \infty ),$$
而
$$\Vert T{x}_n\Vert =\frac{\Vert T{u}_n\Vert }{\sqrt{n}}>\frac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}\to \infty .$$
因此存在序列 $\{x_n\}$ 满足 $x_n\to 0$ 且 $\Vert T{x}_n\Vert \to \infty$。

综上，$T$ 不是连续映射当且仅当存在 $x_n\in X$ 使得 $x_n\to 0$ 而 $\Vert T{x}_n\Vert \to \infty$。 ∎