习题 2.20

设 $T:C[0,1]\to C[0,1]$ 定义为 $$(Tx)(t)={\int }_0^{t}x(s)\mathrm{d}s,x\in C[0,1].$$ 求证: $T$ 为单射. 求 $R(T)$. 问 $T^{-1}:R(T)\to C[0,1]$ 为有界线性算子吗?

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明与解答

1. $T$ 为单射

设 $x\in C[0,1]$ 满足 $Tx=0$，即对任意 $t\in [0,1]$， $$(Tx)(t)={\int }_0^{t}x(s)ds=0.$$ 令 $F(t)={\int }_0^{t}x(s)ds$，由于 $x$ 连续，根据微积分基本定理，$F$ 在 $[0,1]$ 上可微且 $F^{\prime }(t)=x(t)$ 对一切 $t$ 成立。因 $F\equiv 0$，故 $F^{\prime }(t)=0$，从而 $x(t)=0$ 对任意 $t$ 成立，即 $x=0$。因此 $T$ 是单射。

2. 值域 $R(T)$

先观察：对任意 $x\in C[0,1]$，令 $y=Tx$，则 $$y(t)={\int }_0^{t}x(s)ds,y(0)=0.$$ 由 $x$ 连续知 $y$ 连续可微且 $y^{\prime }=x\in C[0,1]$，故 $y\in C^1[0,1]$ 且 $y(0)=0$。所以 $$R(T)\subseteq \{y\in C[0,1]:y(0)=0,y\in C^1[0,1]\}.$$

反之，任取 $y\in C^1[0,1]$ 满足 $y(0)=0$，定义 $x(t)=y^{\prime }(t)$，则 $x\in C[0,1]$，并且 $$(Tx)(t)={\int }_0^t{y}^{\prime }(s)ds=y(t)-y(0)=y(t),$$ 即 $y\in R(T)$。综上， $$R(T)=\{y\in C[0,1]:y(0)=0,y\text{ 在 }[0,1]\text{ 上连续可导}\}.$$ 通常简记为 $R(T)=\{y\in C^1[0,1]:y(0)=0\}$，其中 $C^1[0,1]$ 视为 $C[0,1]$ 的子空间。

3. $T^{-1}$ 的有界性

因 $T$ 是单射，其逆算子 $T^{-1}:R(T)\to C[0,1]$ 存在。对任意 $y\in R(T)$，由 $y=Tx$ 得 $x=y^{\prime }$，故 $$(T^{-1}y)(t)=y^{\prime }(t),\forall t\in [0,1],$$ 即 $T^{-1}$ 是求导算子。

考虑函数列 $\{y_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq R(T)$，其中 $$y_n(t)=t^n,t\in [0,1].$$ 显然 $y_n\in C^1[0,1]$ 且 $y_n(0)=0$，故 $y_n\in R(T)$。计算范数（$C[0,1]$ 的范数为 $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$）： $$\Vert y_n{\Vert }_{\infty }=\underset{t\in [0,1]}{\sup }|t^n|=1,$$ $$(T^{-1}{y}_n)(t)=y_n^{\prime }(t)=n{t}^{n-1},\Vert T^{-1}{y}_n{\Vert }_{\infty }=\underset{t\in [0,1]}{\sup }n{t}^{n-1}=n.$$

若 $T^{-1}$ 是有界线性算子，则存在常数 $M\ge 0$ 使得对任意 $y\in R(T)$ 有 $$\Vert T^{-1}y{\Vert }_{\infty }\le M\Vert y{\Vert }_{\infty }.$$ 特别地，对每个 $n$ 应有 $n\le M\cdot 1=M$，这与 $n$ 可任意大矛盾。因此 $T^{-1}$ 不是有界算子。

综上所述，$T$ 为单射，$R(T)=\{y\in C^1[0,1]:y(0)=0\}$，而其逆算子 $T^{-1}$ 无界。