习题 2.19

设 $X,Y$ 为赋范空间, $T\in B(X,Y)$ 为一一映射. 若存在常数 $\alpha >0$, 使得 $\alpha \Vert x\Vert \le \Vert Tx\Vert ,x\in X.$ 求证: $T^{-1}\in B(Y,X)$ 且 $\Vert T^{-1}\Vert \le \frac{1}{\alpha }$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：因为 $T$ 是一一映射（双射），所以存在逆算子 $T^{-1}:Y\to X$，并且 $T^{-1}$ 是线性的。对任意 $y\in Y$，设 $x=T^{-1}y$，则 $Tx=y$。由条件可得 $$\alpha \Vert x\Vert =\alpha \Vert T^{-1}y\Vert \le \Vert Tx\Vert =\Vert y\Vert ,$$ 因此 $\Vert T^{-1}y\Vert \le \frac{1}{\alpha }\Vert y\Vert$。这说明 $T^{-1}$ 是有界线性算子，且其算子范数满足 $$\Vert T^{-1}\Vert \le \frac{1}{\alpha }.$$ $\square$