习题 2.18

设 $X,Y$ 为赋范空间, $T\in B(X,Y)$ 为非零有界线性算子. 求证: 任取 $x\in X$, $\Vert x\Vert <1$, 都有 $\Vert Tx\Vert <\Vert T\Vert$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：

由于 $T\in B(X,Y)$，根据算子范数的定义有

$$\Vert T\Vert =\underset{\Vert u\Vert =1}{\sup }\Vert Tu\Vert .$$

对任意 $x\in X$，若 $x=0$，则 $\Vert Tx\Vert =0=\Vert T\Vert \Vert x\Vert$；若 $x\ne 0$，取 $u=x/\Vert x\Vert$，则 $\Vert u\Vert =1$，从而

$$\Vert Tu\Vert =\Vert T\left(\frac{x}{\Vert x\Vert }\right)\Vert \le \Vert T\Vert ,$$

即 $\Vert Tx\Vert \le \Vert T\Vert \Vert x\Vert$。因此对任意 $x\in X$ 成立

$$\Vert Tx\Vert \le \Vert T\Vert \Vert x\Vert .\text{\hspace{1em}(1)}$$

因为 $T$ 非零，所以 $\Vert T\Vert >0$。现取 $x\in X$ 满足 $\Vert x\Vert <1$，则由 (1) 得

$$\Vert Tx\Vert \le \Vert T\Vert \Vert x\Vert <\Vert T\Vert \cdot 1=\Vert T\Vert .$$

故 $\Vert Tx\Vert <\Vert T\Vert$，结论得证。

注意：当 $T=0$ 时 $\Vert T\Vert =0$，而 $\Vert Tx\Vert =0$，此时不等式 $0<0$ 不成立，因此必须要求 $T$ 非零。