习题 2.17

设 $X$ 为赋范空间, 求证: $X$ 为 Banach 空间当且仅当 $X$ 的单位球面 $$S_X=\{x\in X:\Vert x\Vert =1\}$$ 为完备度量空间.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：

$\boxed{\Rightarrow }$ 设 $X$ 是 Banach 空间，即 $X$ 完备。范数映射 $f(x)=\Vert x\Vert$ 是连续的，而 $S_X=f^{-1}(\{1\})$，$\{1\}$ 是 $\mathbb{R}$ 中的闭集，因此 $S_X$ 是 $X$ 的闭子集。完备度量空间的闭子集仍是完备的，故 $S_X$ 作为度量子空间是完备的。

$\boxed{\Leftarrow }$ 假设 $S_X$ 完备。任取 $X$ 中的柯西列 $(x_n)$，欲证 $(x_n)$ 收敛。

考虑实数序列 $(\Vert x_n\Vert )$，由不等式 $|\Vert x_n\Vert -\Vert x_m\Vert |\le \Vert x_n-x_m\Vert$ 知它是 $\mathbb{R}$ 中的柯西列。$\mathbb{R}$ 完备，故存在极限 $a={\lim }_{n\to \infty }\Vert x_n\Vert \ge 0$。

情形 1：$a=0$。此时对任意 $\epsilon >0$，存在 $N$ 使得 $n\ge N$ 时 $\Vert x_n\Vert <\epsilon$，从而 $\Vert x_n-0\Vert <\epsilon$，即 $x_n\to 0$，序列收敛。

情形 2：$a>0$。因 $a>0$，可取 $N_0$ 使得当 $n\ge N_0$ 时 $\Vert x_n\Vert \ge a/2>0$。定义 $y_n=\frac{x_n}{\Vert x_n\Vert }$（$n\ge N_0$），则 $y_n\in S_X$。下证 $(y_n{)}_{n\ge N_0}$ 是 $S_X$ 中的柯西列。

对任意 $m,n\ge N_0$，有 $$\begin{array}{rl}\Vert y_n-y_m\Vert & =\Vert \frac{x_n}{\Vert x_n\Vert }-\frac{x_m}{\Vert x_m\Vert }\Vert \\ & \le \left|\frac{1}{\Vert x_n\Vert }-\frac{1}{\Vert x_m\Vert }\right|\cdot \Vert x_n\Vert +\frac{1}{\Vert x_m\Vert }\Vert x_n-x_m\Vert .\end{array}$$ 由于 $(\Vert x_n\Vert )$ 收敛于 $a>0$，故存在 $M>0$ 使 ${\sup }_n\Vert x_n\Vert \le M$，且 ${\inf }_{n\ge N_0}\Vert x_n\Vert \ge a/2$，从而 $\frac{1}{\Vert x_m\Vert }\le \frac{2}{a}$。又 $(\Vert x_n\Vert )$ 是柯西列，所以 $\left(\frac{1}{\Vert x_n\Vert }\right)$ 也是柯西列（因为它收敛于 $1/a$）。给定 $\epsilon >0$，存在 $N\ge N_0$，当 $m,n\ge N$ 时， $$\left|\frac{1}{\Vert x_n\Vert }-\frac{1}{\Vert x_m\Vert }\right|<\frac{\epsilon }{2M},\Vert x_n-x_m\Vert <\frac{\epsilon a}{4}.$$ 于是 $$\Vert y_n-y_m\Vert \le \frac{\epsilon }{2M}\cdot M+\frac{2}{a}\cdot \frac{\epsilon a}{4}=\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$$ 故 $(y_n)$ 是柯西列。由 $S_X$ 完备，存在 $y\in S_X$ 使得 $y_n\to y$。

现 $\Vert x_n\Vert \to a$，$y_n\to y$，从而 $$\Vert x_n-ay\Vert \le \Vert x_n-\Vert x_n\Vert y_n\Vert +\Vert \Vert x_n\Vert y_n-ay\Vert \le \Vert x_n\Vert \Vert y_n-y\Vert +|\Vert x_n\Vert -a|\cdot \Vert y\Vert \to 0,$$ 即 $x_n\to ay$。因此 $(x_n)$ 收敛。

综合情形 1 和 2，$X$ 中任意柯西列均收敛，故 $X$ 是 Banach 空间。

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