习题 1.9

设 $(X,d)$ 为度量空间, $A,B$ 为 $X$ 的子集. 求证:

1. $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cup \bar{B}$;

2. $\overline{A\cap B}\subset \bar{A}\cap \bar{B}$;

3. $(A\cap B{)}^{\circ }=A^{\circ }\cap B^{\circ }$;

4. $A^{\circ }\cup B^{\circ }\subset (A\cup B{)}^{\circ }$.

举例说明第二个和第四个包含关系可以是严格的.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

解答

设 $(X,d)$ 为度量空间，$A,B\subset X$。

1. 证明 $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cup \bar{B}$。

首先，由于 $A\subset A\cup B$，故 $\bar{A}\subset \overline{A\cup B}$；同理 $\bar{B}\subset \overline{A\cup B}$，从而 $\bar{A}\cup \bar{B}\subset \overline{A\cup B}$。

另一方面，$\bar{A}$ 和 $\bar{B}$ 都是闭集，有限个闭集的并仍是闭集，因此 $\bar{A}\cup \bar{B}$ 是闭集。又 $A\cup B\subset \bar{A}\cup \bar{B}$，而 $\overline{A\cup B}$ 是包含 $A\cup B$ 的最小闭集，故 $\overline{A\cup B}\subset \bar{A}\cup \bar{B}$。

综上，$\overline{A\cup B}=\bar{A}\cup \bar{B}$。

2. 证明 $\overline{A\cap B}\subset \bar{A}\cap \bar{B}$。

因为 $A\cap B\subset A$，由闭包的单调性有 $\overline{A\cap B}\subset \bar{A}$；同理 $\overline{A\cap B}\subset \bar{B}$，故 $\overline{A\cap B}\subset \bar{A}\cap \bar{B}$。

该包含关系可以是严格的。例如取 $X=\mathbb{R}$，$A=(0,1)$，$B=(1,2)$，则 $A\cap B=\varnothing$，$\overline{A\cap B}=\varnothing$，而 $\bar{A}=[0,1]$，$\bar{B}=[1,2]$，$\bar{A}\cap \bar{B}=\{1\}\ne \varnothing$，因此 $\overline{A\cap B}⊊\bar{A}\cap \bar{B}$。

3. 证明 $(A\cap B{)}^{\circ }=A^{\circ }\cap B^{\circ }$。

若 $x\in (A\cap B{)}^{\circ }$，则存在 $\epsilon >0$ 使得 $B(x,\epsilon )\subset A\cap B$，从而 $B(x,\epsilon )\subset A$ 且 $B(x,\epsilon )\subset B$，因此 $x\in A^{\circ }$ 且 $x\in B^{\circ }$，即 $x\in A^{\circ }\cap B^{\circ }$。

反之，若 $x\in A^{\circ }\cap B^{\circ }$，则存在 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2>0$ 使得 $B(x,{\epsilon }_1)\subset A$，$B(x,{\epsilon }_2)\subset B$。取 $\epsilon =\min \{{\epsilon }_1,{\epsilon }_2\}$，则 $B(x,\epsilon )\subset A$ 且 $B(x,\epsilon )\subset B$，故 $B(x,\epsilon )\subset A\cap B$，即 $x\in (A\cap B{)}^{\circ }$。

因此等式成立。

4. 证明 $A^{\circ }\cup B^{\circ }\subset (A\cup B{)}^{\circ }$。

若 $x\in A^{\circ }\cup B^{\circ }$，则 $x\in A^{\circ }$ 或 $x\in B^{\circ }$。当 $x\in A^{\circ }$ 时，存在 $\epsilon >0$ 使 $B(x,\epsilon )\subset A\subset A\cup B$，故 $x\in (A\cup B{)}^{\circ }$；当 $x\in B^{\circ }$ 时同理。因此 $A^{\circ }\cup B^{\circ }\subset (A\cup B{)}^{\circ }$。

该包含关系可以是严格的。例如取 $X=\mathbb{R}$，$A=[0,1]$，$B=[1,2]$，则 $A^{\circ }=(0,1)$，$B^{\circ }=(1,2)$，$A^{\circ }\cup B^{\circ }=(0,1)\cup (1,2)$。而 $A\cup B=[0,2]$，$(A\cup B{)}^{\circ }=(0,2)$，显然 $1\in (A\cup B{)}^{\circ }$ 但 $1\notin A^{\circ }\cup B^{\circ }$，因此 $A^{\circ }\cup B^{\circ }⊊(A\cup B{)}^{\circ }$。

证毕。