习题 1.8

求下述集合的闭包:

1. $\mathbb{R}$ 中的整数集 $\mathbb{Z}$;
2. $\mathbb{R}$ 中的有理数集 $\mathbb{Q}$;
3. 复平面 C 的单位开圆盘 $D=\{z\in \mathbb{C}:|z|<1\}$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

解答

1. $\mathbb{R}$ 中的整数集 $\mathbb{Z}$ 的闭包

$\mathbb{Z}$ 在 $\mathbb{R}$ 的标准拓扑下是闭集。因为其补集 $$\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}=\bigcup _{n\in \mathbb{Z}}(n,n+1)$$ 是开区间的并集，故为开集。因此 $\mathbb{Z}$ 本身是闭的，从而闭包 $\overline{\mathbb{Z}}=\mathbb{Z}$。

2. $\mathbb{R}$ 中的有理数集 $\mathbb{Q}$ 的闭包

有理数集 $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密：对任意 $x\in \mathbb{R}$ 及任意 $\epsilon >0$，存在有理数 $q\in \mathbb{Q}$ 使得 $|x-q|<\epsilon$，即 $x$ 的任意邻域都包含 $\mathbb{Q}$ 中的点。因此 $\mathbb{R}$ 中每一点都是 $\mathbb{Q}$ 的聚点，故 $\overline{\mathbb{Q}}\supseteq \mathbb{R}$。另一方面，$\overline{\mathbb{Q}}\subseteq \mathbb{R}$（闭包是空间的子集），所以 $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$。

3. 复平面 $\mathbb{C}$ 的单位开圆盘 $D=\{z\in \mathbb{C}:|z|<1\}$ 的闭包

记闭单位圆盘 $B=\{z\in \mathbb{C}:|z|\le 1\}$。

• $B$ 是闭集：因为函数 $f(z)=|z|$ 连续，且 $B=f^{-1}([0,1])$，而 $[0,1]$ 是 $\mathbb{R}$ 中的闭集，故 $B$ 是闭集。
• $D$ 在 $B$ 中稠密：对任意 $z_0\in B$，若 $|z_0|<1$，则 $z_0\in D$；若 $|z_0|=1$，取序列 $z_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)z_0\in D$，则 $|z_n|=1-\frac{1}{n}<1$ 且 $z_n\to z_0$。因此 $B\subseteq \overline{D}$。
• $\overline{D}\subseteq B$：因为 $D\subseteq B$ 且 $B$ 是闭的，所以 $\overline{D}\subseteq B$。

综上，$\overline{D}=B=\{z\in \mathbb{C}:|z|\le 1\}$。