习题 1.7

设 $M$ 为度量空间 $(X,d)$ 的子集, 求证: $x\in X$ 为 $M$ 的聚点当且仅当任取 $\epsilon >0$, 开球 $B(x,r)$ 中总有无穷多个 $M$ 中的点.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明： 设 $(X,d)$ 是度量空间，$M\subset X$，$x\in X$.

必要性（$\Rightarrow$）：假设 $x$ 是 $M$ 的聚点，即对任意 $\epsilon >0$，有 $(B(x,\epsilon )\setminus \{x\})\cap M\ne \varnothing$. 任取 $\epsilon >0$，要证 $B(x,\epsilon )$ 中含有 $M$ 的无穷多个点. 用反证法.

假设 $B(x,\epsilon )$ 中只含有 $M$ 的有限个点. 记 $$S=(B(x,\epsilon )\cap M)\setminus \{x\}.$$ 由于 $x$ 是聚点，必有 $S\ne \varnothing$，否则 $(B(x,\epsilon )\setminus \{x\})\cap M=\varnothing$，矛盾. 同时 $S$ 是有限集. 令 $$\delta =\underset{p\in S}{\min }d(x,p)>0.$$ 取 ${\epsilon }^{\prime }=\frac{\delta }{2}$，则 $0<{\epsilon }^{\prime }<\delta \le \epsilon$. 于是 $B(x,{\epsilon }^{\prime })\subset B(x,\epsilon )$，并且对任意 $p\in S$ 有 $d(x,p)\ge \delta >{\epsilon }^{\prime }$，故 $p\notin B(x,{\epsilon }^{\prime })$. 因此 $$(B(x,{\epsilon }^{\prime })\setminus \{x\})\cap M=\varnothing ,$$ 但这与 $x$ 是 $M$ 的聚点矛盾. 所以假设不成立，即 $B(x,\epsilon )$ 中含有 $M$ 的无穷多个点.

充分性（$\Leftarrow$）：若对任意 $\epsilon >0$，$B(x,\epsilon )$ 中都含有 $M$ 的无穷多个点，则特别地，$B(x,\epsilon )\setminus \{x\}$ 中也含有 $M$ 的点（因为无穷多个点不可能全是 $x$），于是 $$(B(x,\epsilon )\setminus \{x\})\cap M\ne \varnothing ,$$ 从而 $x$ 是 $M$ 的聚点.

综上，命题得证.