习题 1.6

设 $(X,d)$ 为度量空间, 求证: $M\subset X$ 为开集当且仅当 $M$ 可以表示成 $X$ 中某些开球的并集.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：

设 ((X,d)) 为度量空间，(M \subset X)。

充分性（(\Leftarrow)）：若 (M) 可表示成若干开球的并集，即存在指标集 (I) 使得
$$M=\bigcup _{i\in I}B(x_i,r_i),$$
其中每个 (B(x_i, r_i) = { y\in X \mid d(x_i,y) < r_i }) 为开球。
在度量空间中，每个开球都是开集（证明见注）。而开集的任意并仍为开集，因此 (M) 是开集。

必要性（(\Rightarrow)）：若 (M) 是开集，则对任意 (x\in M)，存在 (\varepsilon_x > 0) 使得
$$B(x,{\epsilon }_x)\subseteq M.$$
考虑集族 ({ B(x, \varepsilon_x) \mid x\in M })，显然
$$\bigcup _{x\in M}B(x,{\epsilon }_x)\subseteq M,$$
且对每个 (x\in M) 有 (x \in B(x, \varepsilon_x))，故
$$M\subseteq \bigcup _{x\in M}B(x,{\epsilon }_x).$$
从而 (M = \bigcup_{x\in M} B(x, \varepsilon_x))，即 (M) 可表示为 (X) 中某些开球的并集。

注：开球是开集的证明——任取 (y \in B(x,r))，令 (\delta = r - d(x,y) > 0)，则对任意 (z \in B(y,\delta))，有
$$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)<d(x,y)+\delta =r,$$
故 (z \in B(x,r))，即 (B(y,\delta) \subseteq B(x,r))。因此 (B(x,r)) 为开集。

综上，命题得证。