习题 1.5

设 $(X,d)$ 为度量空间, $M\subset X$ 为非空子集. 若 $x\in X$, 令 $$\rho (x,M)=\underset{y\in M}{\inf }d(x,y).$$ 求证:

1. 任给 $x,y\in X$ 有 $$|\rho (x,M)-\rho (y,M)|\le d(x,y);$$

2. $x\in \bar{M}$ 当且仅当 $\rho (x,M)=0$;

3. 若 $M$ 为闭集, 则 $x\notin M$ 当且仅当 $\rho (x,M)>0$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明

1. 对任意 $x,y\in X$，由下确界的定义，对任意的 $\epsilon >0$，存在 $z\in M$ 使得
   $$d(y,z)<\rho (y,M)+\epsilon .$$
   利用三角不等式有
   $$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)<d(x,y)+\rho (y,M)+\epsilon .$$
   因为 $\rho (x,M)={\inf }_{w\in M}d(x,w)\le d(x,z)$，故
   $$\rho (x,M)<d(x,y)+\rho (y,M)+\epsilon .$$
   从而
   $$\rho (x,M)-\rho (y,M)<d(x,y)+\epsilon .$$
   令 $\epsilon \to 0^{+}$ 得 $\rho (x,M)-\rho (y,M)\le d(x,y)$. 交换 $x$ 与 $y$ 的位置可得
   $$\rho (y,M)-\rho (x,M)\le d(x,y).$$
   因此
   $$|\rho (x,M)-\rho (y,M)|\le d(x,y).$$

2. 充分性：若 $\rho (x,M)=0$，则对任意 $\epsilon >0$ 存在 $y\in M$ 使得 $d(x,y)<\epsilon$，即 $B(x,\epsilon )\cap M\ne \varnothing$，故 $x$ 是 $M$ 的接触点，$x\in \overline{M}$。
   必要性：若 $x\in \overline{M}$，则对任意 $\epsilon >0$ 存在 $y\in M$ 使得 $d(x,y)<\epsilon$，从而 ${\inf }_{y\in M}d(x,y)<\epsilon$. 由 $\epsilon$ 的任意性知 $\rho (x,M)=0$。
   综上，$x\in \overline{M}⟺\rho (x,M)=0$。

3. 因为 $M$ 是闭集，故 $M=\overline{M}$. 利用 (2) 的结论，
   $$x\notin M⟺x\notin \overline{M}⟺\rho (x,M)\ne 0.$$
   而 $\rho (x,M)={\inf }_{y\in M}d(x,y)\ge 0$，所以 $\rho (x,M)\ne 0$ 等价于 $\rho (x,M)>0$. 因此
   $$x\notin M⟺\rho (x,M)>0.$$