习题 1.10

举例说明: 无穷多个开集的交集末必还是开集, 无穷多个闭集的并集也末必还是闭集.

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解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

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\subsection*{1. 无穷多个开集的交集未必是开集} 考虑实数空间 $\mathbb{R}$ 装备通常的欧氏拓扑。对每个正整数 $n$，定义 $$U_n=\left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right).$$ 每个 $U_n$ 都是一个开区间，因此是 $\mathbb{R}$ 中的开集。考察这些开集的交集： $$U=\bigcap _{n=1}^{\infty }{U}_n.$$ 若 $x\in U$，则对一切 $n$ 有 $|x|<\frac{1}{n}$，从而 $|x|\le 0$，故 $x=0$。因此 $U=\{0\}$。集合 $\{0\}$ 不是 $\mathbb{R}$ 中的开集，因为它不包含任何开区间：对任意 $\epsilon >0$，$(-\epsilon ,\epsilon )$ 不仅含有 $0$ 还含有其他点，故 $(-\epsilon ,\epsilon )⊈\{0\}$。所以无穷多个开集的交集可以不是开集。

\subsection*{2. 无穷多个闭集的并集未必是闭集} 仍取 $\mathbb{R}$ 为基本空间。对每个正整数 $n$，定义 $$F_n=\left\{\frac{1}{n}\right\}.$$ 在度量空间中，单点集是闭集（因为它的补集是开集），故每个 $F_n$ 都是闭集。考虑它们的并集： $$F=\bigcup _{n=1}^{\infty }{F}_n=\left\{\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\right\}.$$ 注意到 $0$ 是 $F$ 的一个聚点：对任意 $\epsilon >0$，取 $n>1/\epsilon$，则 $\frac{1}{n}\in (-\epsilon ,\epsilon )$ 且 $\frac{1}{n}\ne 0$，所以 $0$ 是 $F$ 的聚点。然而 $0\notin F$，因此 $F$ 不包含它的所有聚点，从而 $F$ 不是闭集。这就说明了无穷多个闭集的并集可以不是闭集。