习题 1.11

在 $C[0,1]$ 上赋予度量 $d_{\infty }$, 考虑集合 $M=\{x\in C[0,1]:x(0)=1\}$. 求证: $M$ 为闭集. 若在 $C[0,1]$ 上赋予度量 $d_1,M$ 还是闭集吗? 证明你的结论.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

在 $C[0,1]$ 上赋予度量 $$d_{\infty }(f,g)=\underset{t\in [0,1]}{\sup }|f(t)-g(t)|,d_1(f,g)={\int }_0^1|f(t)-g(t)|\mathrm{d}t.$$ 考虑集合 $$M=\{x\in C[0,1]\mid x(0)=1\}.$$

1. 在 $d_{\infty }$ 度量下 $M$ 是闭集

定义点赋值映射 $\phi :C[0,1]\to \mathbb{R}$ 为 $\phi (f)=f(0)$. 对任意 $f,g\in C[0,1]$, $$|\phi (f)-\phi (g)|=|f(0)-g(0)|\le \underset{t\in [0,1]}{\sup }|f(t)-g(t)|=d_{\infty }(f,g),$$ 故 $\phi$ 是（Lipschitz）连续的. 由于 $\{1\}$ 是 $\mathbb{R}$ 中的闭集, 其原像 $$M={\phi }^{-1}(\{1\})$$ 是 $C[0,1]$ 中的闭集 (连续映射保持闭集的原像为闭). 因此在 $d_{\infty }$ 度量下 $M$ 是闭集.

2. 在 $d_1$ 度量下 $M$ 不是闭集

构造函数列 $\{f_n\}\subset M$ 使得 $d_1(f_n,0)\to 0$, 但 $0\notin M$, 从而 $M$ 不包含它的极限点, 故 $M$ 不是闭集.

对每个 $n\in \mathbb{N}$, 令 $$f_n(t)=\max \{1-nt,0\}=\{\begin{array}{llc}1-nt,& 0\le t\le \frac{1}{n},0,& \frac{1}{n}\le t\le 1.\end{array}$$ 显然 $f_n\in C[0,1]$, 且 $f_n(0)=1$, 故 $f_n\in M$.

计算 $f_n$ 与零函数 $0$ 的 $d_1$ 距离: $$d_1(f_n,0)={\int }_0^1|f_n(t)|\mathrm{d}t={\int }_0^{1/n}(1-nt)\mathrm{d}t=[t-\frac{n}{2}{t}^2{]}_0^{1/n}=\frac{1}{n}-\frac{n}{2}\cdot \frac{1}{n^2}=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{2n}\to 0(n\to \infty ).$$ 因此 $f_n$ 在 $d_1$ 度量下收敛于零函数 $0\in C[0,1]$. 但零函数满足 $0(0)=0\ne 1$, 故 $0\notin M$.

所以存在 $M$ 中的序列 $\{f_n\}$ 收敛到 $C[0,1]$ 中的一点 $0$, 而 $0$ 不属于 $M$, 这表明 $M$ 不是闭集.

结论: 在一致收敛度量 $d_{\infty }$ 下 $M$ 是闭集; 在 $L^1$ 度量 $d_1$ 下 $M$ 不是闭集.