习题 1.12

设 $M=\{\left\{x_n\right\}\in {\ell }^1$ : 任取 $k\ge 0$, 都有 $x_{2k+1}=0\}$. 求证: $M$ 在 ${\ell }^1$ 中为闭集.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

设 $M=\{\{x_n\}\in {\ell }^1\mid \forall k\ge 0,x_{2k+1}=0\}$。欲证 $M$ 在 ${\ell }^1$ 中是闭集。

对每个固定的 $n\in \mathbb{N}$，考虑坐标映射 $p_n:{\ell }^1\to \mathbb{C}$，$p_n(x)=x_n$。由于 $$|p_n(x)|=|x_n|\le \sum _{k=1}^{\infty }|x_k|=\Vert x{\Vert }_1,$$ 故 $p_n$ 是有界线性泛函，从而连续。

设 $\{x^{(m)}{\}}_{m=1}^{\infty }\subseteq M$ 且 $x^{(m)}\to x$ 按 ${\ell }^1$ 范数，即 $\Vert x^{(m)}-x{\Vert }_1\to 0$。由 $p_n$ 的连续性，对每个 $n$ 有 $$x_n^{(m)}=p_n(x^{(m)})\to p_n(x)=x_n(m\to \infty ).$$ 特别地，对任意 $k\ge 0$，取 $n=2k+1$，则 $x_{2k+1}^{(m)}=0$ 对所有 $m$ 成立，故极限 $x_{2k+1}=0$。因此 $x\in M$。

由定义，$M$ 是 ${\ell }^1$ 中的闭集。