习题 1.13

设 $(X,d)$ 为度量空间, $M\subset X$. 称 $\partial M=\bar{M}\setminus M^{\circ }$ 为 $M$ 的边界. 求证:

1. $\partial M$ 总为闭集;

2. $x\in \partial M$ 当且仅当任给 $\epsilon >0$, $B(x,\epsilon )\cap M\ne \varnothing$, $B(x,r)\cap M^{\mathrm{c}}\ne \varnothing$;

3. $\partial M=\partial \left(M^{\mathrm{c}}\right)$.

求下述集合的边界:

1. $\mathbb{R}$ 中的开区间 $(0,1)$;

2. $\mathbb{R}$ 中的半开半闭区间 $(0,1]$;

3. $\mathbb{R}$ 中的有理数集 $\mathbb{Q}$;

4. 复平面 $C$ 的单位开圆盘 $D=\{z\in \mathbb{C}:|z|<1\}$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

1. 证明 $\partial M$ 总是闭集

证明：由于 $M^{\circ }=X\setminus \overline{M^c}$（因为 $x\in M^{\circ }$ 当且仅当存在 $\epsilon >0$ 使 $B(x,\epsilon )\subset M$，这等价于 $x$ 不是 $M^c$ 的接触点，即 $x\notin \overline{M^c}$），故 $(M^{\circ }{)}^c=\overline{M^c}$。于是 $$\partial M=\bar{M}\setminus M^{\circ }=\bar{M}\cap (M^{\circ }{)}^c=\bar{M}\cap \overline{M^c}.$$ $\bar{M}$ 与 $\overline{M^c}$ 均为闭集，它们的交 $\partial M$ 也是闭集。∎

2. 证明 $x\in \partial M$ 当且仅当对任意 $\epsilon >0$，$B(x,\epsilon )\cap M\ne \varnothing$ 且 $B(x,\epsilon )\cap M^c\ne \varnothing$

证明：
（必要性）若 $x\in \partial M$，则 $x\in \bar{M}$ 且 $x\notin M^{\circ }$。由 $x\in \bar{M}$，对任意 $\epsilon >0$，$B(x,\epsilon )\cap M\ne \varnothing$。由 $x\notin M^{\circ }$，不存在 $\delta >0$ 使 $B(x,\delta )\subset M$，因此对任意 $\epsilon >0$，$B(x,\epsilon )$ 不包含于 $M$，即 $B(x,\epsilon )\cap M^c\ne \varnothing$。

（充分性）假设对任意 $\epsilon >0$，$B(x,\epsilon )\cap M\ne \varnothing$ 且 $B(x,\epsilon )\cap M^c\ne \varnothing$。由 $B(x,\epsilon )\cap M\ne \varnothing$ 知 $x\in \bar{M}$。若 $x\in M^{\circ }$，则存在 ${\epsilon }_0>0$ 使 $B(x,{\epsilon }_0)\subset M$，从而 $B(x,{\epsilon }_0)\cap M^c=\varnothing$，与假设矛盾，故 $x\notin M^{\circ }$。因此 $x\in \bar{M}\setminus M^{\circ }=\partial M$。∎

3. 证明 $\partial M=\partial (M^c)$

证明：利用 $\partial M=\bar{M}\cap \overline{M^c}$（见第1步）。对 $M^c$ 应用相同表达式得 $$\partial (M^c)=\overline{M^c}\cap \overline{(M^c{)}^c}=\overline{M^c}\cap \bar{M}=\bar{M}\cap \overline{M^c}=\partial M.$$∎

求下列集合的边界

1. $\mathbb{R}$ 中的开区间 $(0,1)$
   $(0,1)$ 是开集，故 $M^{\circ }=(0,1)$；闭包 $\bar{M}=[0,1]$。所以 $\partial (0,1)=[0,1]\setminus (0,1)=\{0,1\}$。

2. $\mathbb{R}$ 中的半开半闭区间 $(0,1]$
   内部 $M^{\circ }=(0,1)$，闭包 $\bar{M}=[0,1]$，故 $\partial (0,1]=[0,1]\setminus (0,1)=\{0,1\}$。

3. $\mathbb{R}$ 中的有理数集 $\mathbb{Q}$
   $\bar{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$，${\mathbb{Q}}^{\circ }=\varnothing$，所以 $\partial \mathbb{Q}=\mathbb{R}\setminus \varnothing =\mathbb{R}$。

4. 复平面 $\mathbb{C}$ 的单位开圆盘 $D=\{z\in \mathbb{C}:|z|<1\}$
   $D$ 是开集，故 $D^{\circ }=D$；闭包 $\bar{D}=\{z\in \mathbb{C}:|z|\le 1\}$。因此 $\partial D=\bar{D}\setminus D=\{z\in \mathbb{C}:|z|=1\}$（单位圆周）。