习题 1.14

若 $x_n,y_n$ 为度量空间 $(X,d)$ 的柯西列, 求证: $d\left(x_n,y_n\right)$ 为 $\mathbb{R}$ 中的柯西列.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明 由于 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$ 都是度量空间 $(X,d)$ 中的 Cauchy 列，故对任意 $\epsilon >0$，存在 $N\in \mathbb{N}$，使得当 $m,n\ge N$ 时有 $$d(x_m,x_n)<\frac{\epsilon }{2},d(y_m,y_n)<\frac{\epsilon }{2}.$$ 对任意 $m,n\ge N$，由三角不等式得 $$d(x_m,y_m)\le d(x_m,x_n)+d(x_n,y_n)+d(y_n,y_m),$$ 从而 $$d(x_m,y_m)-d(x_n,y_n)\le d(x_m,x_n)+d(y_n,y_m).$$ 交换 $m,n$ 的位置可得 $$d(x_n,y_n)-d(x_m,y_m)\le d(x_n,x_m)+d(y_m,y_n)=d(x_m,x_n)+d(y_m,y_n).$$ 因此 $$|d(x_m,y_m)-d(x_n,y_n)|\le d(x_m,x_n)+d(y_m,y_n).$$ 结合 Cauchy 列的条件，当 $m,n\ge N$ 时， $$|d(x_m,y_m)-d(x_n,y_n)|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$$ 所以 $\{d(x_n,y_n)\}$ 是 $\mathbb{R}$ 中的 Cauchy 列。$\square$