习题 1.15

若 $x,y\in \mathbb{R}$, 设 $d(x,y)=|\arctan (x)-\arctan (y)|$. 求证 :

1. $d$ 为 $\mathbb{R}$ 上的度量;

2. $(\mathbb{R},d)$ 不为完备度量空间.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

1. 证明 $d$ 为 $\mathbb{R}$ 上的度量

记 $f(x)=\arctan x$，则 $f:\mathbb{R}\to (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 是严格单调递增的连续函数。定义 $d(x,y)=|f(x)-f(y)|$。验证度量公理：

• 非负性：对任意 $x,y\in \mathbb{R}$，$|f(x)-f(y)|\ge 0$，故 $d(x,y)\ge 0$。
• 同一性：$d(x,y)=0⟺|f(x)-f(y)|=0⟺f(x)=f(y)$。由于 $f$ 是单射，$f(x)=f(y)$ 当且仅当 $x=y$。因此 $d(x,y)=0⟺x=y$。
• 对称性：$d(x,y)=|f(x)-f(y)|=|f(y)-f(x)|=d(y,x)$。
• 三角不等式：对任意 $x,y,z\in \mathbb{R}$， $$d(x,z)=|f(x)-f(z)|\le |f(x)-f(y)|+|f(y)-f(z)|=d(x,y)+d(y,z).$$

因此 $d$ 满足所有度量公理，是 $\mathbb{R}$ 上的一个度量。

2. 证明 $(\mathbb{R},d)$ 不是完备度量空间

考虑数列 $x_n=n$（$n\in \mathbb{N}$）。下面证明 $\{x_n\}$ 是 $(\mathbb{R},d)$ 中的 Cauchy 序列，但不收敛。

• Cauchy 性：对任意 $\epsilon >0$，因为 ${\lim }_{n\to \infty }\arctan n=\frac{\pi }{2}$，所以数列 $\{\arctan n\}$ 是 $\mathbb{R}$（通常度量）中的 Cauchy 序列。因此存在 $N\in \mathbb{N}$，使得对所有 $m,n>N$ 有 $|\arctan m-\arctan n|<\epsilon$，即 $d(x_m,x_n)<\epsilon$。故 $\{x_n\}$ 是 Cauchy 序列。

• 不收敛性：假设存在 $x\in \mathbb{R}$ 使得 ${\lim }_{n\to \infty }d(x_n,x)=0$，即 ${\lim }_{n\to \infty }|\arctan n-\arctan x|=0$。因为 ${\lim }_{n\to \infty }\arctan n=\frac{\pi }{2}$，所以 $\arctan x$ 必须等于 $\frac{\pi }{2}$。但 $\arctan x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 恒成立，矛盾。因此 $\{x_n\}$ 在 $(\mathbb{R},d)$ 中不收敛。

于是存在一个 Cauchy 序列不收敛，故 $(\mathbb{R},d)$ 不是完备度量空间。