习题 1.16

任取 $x,y\in \mathbb{Z}$, 令 $d(m,n)=\left|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right|$. 求证: $d$ 为 $\mathbb{Z}$ 上的度量, $(\mathbb{Z},d)$ 不为完备度量空间.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

解： 考虑集合 $X=\mathbb{Z}\setminus \{0\}$（非零整数集），定义映射 $d:X\times X\to [0,\infty )$ 为 $$d(m,n)=\left|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right|.$$ 下面证明 $d$ 是 $X$ 上的度量，且 $(X,d)$ 不是完备度量空间。

一、$d$ 是 $X$ 上的度量

1. 非负性：对任意 $m,n\in X$，$d(m,n)=\left|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right|\ge 0$ 显然成立。

2. 对称性：$d(m,n)=\left|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right|=\left|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right|=d(n,m)$.

3. 恒等性：若 $m=n$，则 $d(m,n)=0$；反之，若 $d(m,n)=0$，则 $\left|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right|=0$，从而 $\frac{1}{m}=\frac{1}{n}$，由于 $m,n\ne 0$ 且函数 $x\mapsto 1/x$ 在 $X$ 上是单射，故 $m=n$。

4. 三角不等式：对任意 $m,n,k\in X$，由绝对值不等式得 $$d(m,n)=\left|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right|\le \left|\frac{1}{m}-\frac{1}{k}\right|+\left|\frac{1}{k}-\frac{1}{n}\right|=d(m,k)+d(k,n).$$

综上，$d$ 满足度量的四条公理，因此 $(X,d)$ 是一个度量空间。

二、$(X,d)$ 不是完备的

构造序列 $(x_n{)}_{n=1}^{\infty }$，其中 $x_n=n$（取正整数项，显然 $x_n\in X$）。下证该序列是 Cauchy 列但不收敛。

• Cauchy 列：任给 $\epsilon >0$，取 $N=\lceil \frac{2}{\epsilon }\rceil$，则对任意 $m,n\ge N$ 有 $$d(x_m,x_n)=\left|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right|\le \frac{1}{m}+\frac{1}{n}\le \frac{2}{N}<\epsilon .$$ 故 $(x_n)$ 是 Cauchy 列。

• 不收敛：假设 $(x_n)$ 收敛于某点 $L\in X$，即 $d(x_n,L)\to 0$。由定义， $$d(x_n,L)=\left|\frac{1}{n}-\frac{1}{L}\right|.$$ 令 $n\to \infty$，则 $\frac{1}{n}\to 0$，从而 $$\underset{n\to \infty }{\lim }d(x_n,L)=\left|0-\frac{1}{L}\right|=\frac{1}{|L|}.$$ 若极限为 $0$，必须 $\frac{1}{|L|}=0$，但 $L$ 是非零整数，$\frac{1}{|L|}>0$，矛盾。因此 $(x_n)$ 在 $X$ 中不收敛。

存在 Cauchy 列不收敛，故度量空间 $(X,d)$ 不是完备的。 ∎