习题 1.17

设 $C^1[0,1]$ 为闭区间 $[0,1]$ 上连续可导实函数的全体, 若 $x,y\in C^1[0,1]$, 令 $$d(x,y)=\underset{0\le t\le 1}{\max }|x(t)-y(t)|+\underset{0\le t\le 1}{\max }\left|x^{\prime }(t)-y^{\prime }(t)\right|.$$

求证:

1. $d$ 为 $C^1[0,1]$ 上的度量;

2. $\left(C^1[0,1],d\right)$ 为完备度量空间;

3. 有理系数多项式之集在 $C^1[0,1]$ 中稠密, 进而证明 $C^1[0,1]$ 为可分度量空间.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

1. $d$ 为度量

对任意 $x,y,z\in C^1[0,1]$：

• 非负性：$d(x,y)\ge 0$ 显然。
• 同一性：$d(x,y)=0$ 当且仅当 $\max |x-y|=0$ 且 $\max |x^{\prime }-y^{\prime }|=0$，即 $x(t)=y(t),x^{\prime }(t)=y^{\prime }(t)$ 对所有 $t$，故 $x=y$。
• 对称性：$d(x,y)=d(y,x)$ 由绝对值对称性。
• 三角不等式： $$\begin{array}{rl}|x(t)-z(t)|& \le |x(t)-y(t)|+|y(t)-z(t)|\le \max |x-y|+\max |y-z|,\\ |x^{\prime }(t)-z^{\prime }(t)|& \le |x^{\prime }(t)-y^{\prime }(t)|+|y^{\prime }(t)-z^{\prime }(t)|\le \max |x^{\prime }-y^{\prime }|+\max |y^{\prime }-z^{\prime }|.\end{array}$$ 取上确界得 $\max |x-z|\le \max |x-y|+\max |y-z|$，$\max |x^{\prime }-z^{\prime }|\le \max |x^{\prime }-y^{\prime }|+\max |y^{\prime }-z^{\prime }|$，相加即得 $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$。

故 $d$ 是 $C^1[0,1]$ 上的度量。

2. $(C^1[0,1],d)$ 完备

设 $\{x_n\}\subset C^1[0,1]$ 是 $d$‑Cauchy 列，则 $\forall \epsilon >0$，$\exists N$ 使 $m,n\ge N$ 时 $d(x_m,x_n)<\epsilon$，从而 $$\max |x_m-x_n|<\epsilon ,\max |x_m^{\prime }-x_n^{\prime }|<\epsilon .$$ 因此 $\{x_n\}$ 和 $\{x_n^{\prime }\}$ 均为 $(C[0,1],\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })$ 中的 Cauchy 列。因 $C[0,1]$ 完备，存在连续函数 $x,y$ 使得 $$x_n\stackrel{\text{一致}}{\to }x,x_n^{\prime }\stackrel{\text{一致}}{\to }y.$$

固定 $t_0\in [0,1]$，对任意 $t\in [0,1]$， $$x_n(t)=x_n(t_0)+{\int }_{t_0}^t{x}_n^{\prime }(s)ds.$$ 令 $n\to \infty$，由一致收敛可在积分号下取极限，得 $$x(t)=x(t_0)+{\int }_{t_0}^{t}y(s)ds.$$ 因 $y$ 连续，右端是 $t$ 的可微函数，故 $x$ 可微且 $x^{\prime }=y$，从而 $x\in C^1[0,1]$。

由一致收敛， $$\max |x_n-x|\to 0,\max |x_n^{\prime }-x^{\prime }|=\max |x_n^{\prime }-y|\to 0,$$ 所以 $d(x_n,x)\to 0$。故任意 Cauchy 列收敛，空间完备。

3. 有理系数多项式稠密与可分性

稠密性：任取 $x\in C^1[0,1]$，$\epsilon >0$，取 $\delta =\epsilon /3$。

• 由 Weierstrass 逼近定理及有理系数多项式在 $C[0,1]$ 中的稠密性，存在有理系数多项式 $R(t)$ 使得 $$\underset{t\in [0,1]}{\max }|x^{\prime }(t)-R(t)|<\delta .$$
• 取有理数 $c$ 满足 $|x(0)-c|<\delta$。

定义多项式 $$S(t)=c+{\int }_0^{t}R(s)ds.$$ $R$ 有理系数，积分后系数仍为有理数，$c$ 有理，故 $S$ 为有理系数多项式。

计算： $$\max |x^{\prime }(t)-S^{\prime }(t)|=\max |x^{\prime }(t)-R(t)|<\delta .$$ 对函数值， $$x(t)=x(0)+{\int }_0^t{x}^{\prime }(s)ds,$$ 故 $$|x(t)-S(t)|\le |x(0)-c|+{\int }_0^t|x^{\prime }(s)-R(s)|ds\le \delta +\delta \cdot 1=2\delta .$$ 因此 $\max |x-S|<2\delta$，从而 $$d(x,S)=\max |x-S|+\max |x^{\prime }-S^{\prime }|<2\delta +\delta =3\delta =\epsilon .$$ 所以有理系数多项式之集在 $C^1[0,1]$ 中稠密。

可分性：全体有理系数多项式构成可数集（因为每个多项式由有限个有理系数唯一决定，可数并可数），且在该空间中稠密，故 $(C^1[0,1],d)$ 是可分度量空间。