习题 1.18

设 $(X, d)$ 为度量空间, 令 $δ (x, y) = \frac{d ( x , y )}{1 + d ( x , y )}$ . 求证: $(X, d)$ 为完备度量空间当且仅当 $(X, δ)$ 为完备度量空间.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明我们分三步进行.

1. $δ$ ‑柯西序列与 $d$ ‑柯西序列等价

设 ${x_{n}}$ 是 $X$ 中的一个序列.

若 ${x_{n}}$ 是 $(X, d)$ 中的 Cauchy 序列, 则对任意 $ε > 0$ , 存在 $N$ , 当 $n, m \geq N$ 时 $d (x_{n}, x_{m}) < ε$ . 由于 $δ (x, y) = \frac{d ( x , y )}{1 + d ( x , y )} \leq d (x, y)$ , 故 $δ (x_{n}, x_{m}) < ε$ , 所以 ${x_{n}}$ 也是 $(X, δ)$ 中的 Cauchy 序列.
若 ${x_{n}}$ 是 $(X, δ)$ 中的 Cauchy 序列, 任给 $ε > 0$ , 取 $η = \frac{ε}{1 + ε} > 0$ . 由 ${x_{n}}$ 的 Cauchy 性, 存在 $N$ , 当 $n, m \geq N$ 时 $δ (x_{n}, x_{m}) < η$ . 注意到 $d (x, y) = \frac{δ ( x , y )}{1 - δ ( x , y )}$ 且函数 $s \mapsto \frac{s}{1 - s}$ 在 $[0, 1)$ 上严格递增, 因此 $d (x_{n}, x_{m}) = \frac{δ ( x _{n} , x _{m} )}{1 - δ ( x _{n} , x _{m} )} < \frac{η}{1 - η} = ε .$ 从而 ${x_{n}}$ 是 $(X, d)$ 中的 Cauchy 序列.

2. $d$ ‑收敛与 $δ$ ‑收敛等价

设 $x_{n}, x \in X$ .

若 $d (x_{n}, x) \to 0$ , 则因 $δ (x_{n}, x) \leq d (x_{n}, x)$ , 得 $δ (x_{n}, x) \to 0$ .
若 $δ (x_{n}, x) \to 0$ , 则当 $n$ 充分大时 $δ (x_{n}, x) < 1$ , 从而 $d (x_{n}, x) = \frac{δ ( x _{n} , x )}{1 - δ ( x _{n} , x )} \to 0.$

因此, 在两种度量下序列收敛到同一点是等价的.

3. 完备性等价

假设 $(X, d)$ 完备. 任取 $(X, δ)$ 中的 Cauchy 序列 ${x_{n}}$ . 由第1步知它也是 $(X, d)$ 中的 Cauchy 序列, 故存在 $x \in X$ 使得 $d (x_{n}, x) \to 0$ . 再据第2步, $δ (x_{n}, x) \to 0$ , 即 ${x_{n}}$ 在 $(X, δ)$ 中收敛. 所以 $(X, δ)$ 完备.
假设 $(X, δ)$ 完备. 任取 $(X, d)$ 中的 Cauchy 序列 ${x_{n}}$ , 由第1步它也是 $(X, δ)$ 中的 Cauchy 序列, 于是存在 $x \in X$ 使得 $δ (x_{n}, x) \to 0$ . 由第2步得 $d (x_{n}, x) \to 0$ , 故 $(X, d)$ 完备.