习题 1.19

设 $a<b$, 在 $C[a,b]$ 和 $C[0,1]$ 上都赋度量 $d_{\infty }$. 求证: $C[a,b]$ 与 $C[0,1]$ 等距同构.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：
定义映射 (T\colon C[a,b]\to C[0,1]) 如下：对任意 (f\in C[a,b])，令
$$(Tf)(t)=f(a+(b-a)t),t\in [0,1].$$ 因 (t\mapsto a+(b-a)t) 连续，(f) 连续，故 (Tf\in C[0,1])。

1. (T) 是双射
构造 (S\colon C[0,1]\to C[a,b]) 为
$$(Sg)(x)=g\left(\frac{x-a}{b-a}\right),x\in [a,b],$$ 则对任意 (f\in C[a,b]) 和 (g\in C[0,1])， $$(STf)(x)=(Tf)\left(\frac{x-a}{b-a}\right)=f\left(a+(b-a)\cdot \frac{x-a}{b-a}\right)=f(x),$$ $$(TSg)(t)=(Sg)(a+(b-a)t)=g\left(\frac{a+(b-a)t-a}{b-a}\right)=g(t).$$ 故 (S=T^{-1})，(T) 为双射。

2. (T) 是等距
对任意 (f,g\in C[a,b])， $$\begin{array}{rl}\Vert Tf-Tg{\Vert }_{\infty }& =\underset{t\in [0,1]}{\sup }|f(a+(b-a)t)-g(a+(b-a)t)|\\ & =\underset{x\in [a,b]}{\sup }|f(x)-g(x)|(\text{变量代换 }x=a+(b-a)t)\\ & =\Vert f-g{\Vert }_{\infty }.\end{array}$$

因此，(T) 是 ((C[a,b],d_\infty)) 到 ((C[0,1],d_\infty)) 的等距同构（且为线性映射）。故 (C[a,b]) 与 (C[0,1]) 等距同构。∎