习题 1.20

设 $X$ 为度量空间, $M\subset X$. 求证: $M$ 在 $X$ 中稠密当且仅当任给 $\epsilon >0$, 有 $X=$ ${\bigcup }_{x\in M}B(x,\epsilon ).$

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明

设 $(X,d)$ 为度量空间，$M\subset X$. 记 $\overline{M}$ 为 $M$ 的闭包.

($\Rightarrow$)
假设 $M$ 在 $X$ 中稠密，即 $\overline{M}=X$.
任取 $\epsilon >0$，需证 $X={\bigcup }_{x\in M}B(x,\epsilon )$.
显然 ${\bigcup }_{x\in M}B(x,\epsilon )\subseteq X$，故只需证 $X\subseteq {\bigcup }_{x\in M}B(x,\epsilon )$.
对任意 $y\in X$，由 $\overline{M}=X$ 知 $y\in \overline{M}$. 根据闭包的定义，对上述 $\epsilon >0$，存在 $x\in M$ 使得 $d(y,x)<\epsilon$，即 $y\in B(x,\epsilon )$.
因此 $y\in {\bigcup }_{x\in M}B(x,\epsilon )$，从而 $X\subseteq {\bigcup }_{x\in M}B(x,\epsilon )$.
故 $X={\bigcup }_{x\in M}B(x,\epsilon )$ 成立.

($\Leftarrow$)
假设对任意 $\epsilon >0$ 均有 $X={\bigcup }_{x\in M}B(x,\epsilon )$.
要证 $\overline{M}=X$，即证任意 $y\in X$ 都属于 $\overline{M}$.
任取 $y\in X$ 和 $\epsilon >0$. 由假设 $X={\bigcup }_{x\in M}B(x,\epsilon )$，故 $y$ 必属于某个 $B(x,\epsilon )$，其中 $x\in M$，即存在 $x\in M$ 使得 $d(y,x)<\epsilon$.
这意味着 $x\in B(y,\epsilon )\cap M$，从而 $B(y,\epsilon )\cap M\ne \varnothing$.
由于 $\epsilon >0$ 是任意的，根据闭包的等价描述，$y\in \overline{M}$.
由 $y$ 的任意性知 $\overline{M}=X$，即 $M$ 在 $X$ 中稠密.

综上，$M$ 在 $X$ 中稠密当且仅当对任给 $\epsilon >0$，$X={\bigcup }_{x\in M}B(x,\epsilon )$. $\square$