习题 1.21

求证: $c_0,s$ 均为可分度量空间.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明

1. 空间定义

• $c_0$：所有满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$ 的实（或复）数列 $x=(x_n)$ 构成的线性空间，赋予范数 $\Vert x{\Vert }_{\infty }={\sup }_{n\ge 1}|x_n|$，相应的度量为 $d_{\infty }(x,y)=\Vert x-y{\Vert }_{\infty }$。
• $s$：所有实（或复）数列 $x=(x_n)$ 构成的线性空间，赋予度量
  $$d(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }{2}^{-n}\frac{|x_n-y_n|}{1+|x_n-y_n|}.$$ 易验证 $d$ 是 $s$ 上的一个度量，且 $s$ 在该度量下是完备的（Fréchet 空间）。

2. $c_0$ 的可分性

记 $\mathbb{Q}$ 为有理数集（若为复空间则取 $\mathbb{Q}+i\mathbb{Q}$，它也是可数集）。定义
$$D=\{(q_1,q_2,\dots ,q_k,0,0,\dots )\mid k\in \mathbb{N},q_i\in \mathbb{Q}\}.$$
$D$ 是可数个有限长有理数组的并，故 $D$ 可数。往证 $D$ 在 $c_0$ 中稠密。

任取 $x=(x_n)\in c_0$ 及 $\epsilon >0$。因为 $x_n\to 0$，存在 $N\in \mathbb{N}$ 使得当 $n>N$ 时 $|x_n|<\epsilon /2$。对每个 $n=1,\dots ,N$，选取 $q_n\in \mathbb{Q}$ 满足 $|x_n-q_n|<\epsilon /2$（有理数的稠密性）。构造 $y=(q_1,\dots ,q_N,0,0,\dots )\in D$。

• 当 $n\le N$ 时，$|x_n-y_n|<\epsilon /2<\epsilon$；
• 当 $n>N$ 时，$|x_n-y_n|=|x_n|<\epsilon /2<\epsilon$。

因此 $\Vert x-y{\Vert }_{\infty }<\epsilon$，即 $D$ 在 $c_0$ 中稠密。故 $c_0$ 是可分度量空间。

3. $s$ 的可分性

仍取 $\mathbb{Q}$ 为有理数集，定义
$$D=\{(q_1,\dots ,q_k,0,0,\dots )\mid k\in \mathbb{N},q_i\in \mathbb{Q}\}.$$
$D$ 可数。下证 $D$ 在度量 $d$ 下稠于 $s$。

任取 $x=(x_n)\in s$ 及 $\epsilon >0$。由于级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{2}^{-n}$ 收敛，可取 $N\in \mathbb{N}$ 使得
$$\sum _{n=N+1}^{\infty }{2}^{-n}<\frac{\epsilon }{2}.$$
对每个 $n=1,\dots ,N$，因有理数稠密，可选 $q_n\in \mathbb{Q}$ 使得
$$\frac{|x_n-q_n|}{1+|x_n-q_n|}<\frac{\epsilon }{2N}.$$
（这是可行的：令 $|x_n-q_n|$ 充分小，则左方可任意小。）
构造 $y=(q_1,\dots ,q_N,0,0,\dots )\in D$。

计算距离
$$d(x,y)=\sum _{n=1}^N{2}^{-n}\frac{|x_n-q_n|}{1+|x_n-q_n|}+\sum _{n=N+1}^{\infty }{2}^{-n}\frac{|x_n|}{1+|x_n|}.$$

• 第一项估计：因为 $2^{-n}\le 1$，
  $$\sum _{n=1}^N{2}^{-n}\frac{|x_n-q_n|}{1+|x_n-q_n|}\le \sum _{n=1}^N\frac{|x_n-q_n|}{1+|x_n-q_n|}<N\cdot \frac{\epsilon }{2N}=\frac{\epsilon }{2}.$$
• 第二项估计：由于 $\frac{|x_n|}{1+|x_n|}\le 1$，
  $$\sum _{n=N+1}^{\infty }{2}^{-n}\frac{|x_n|}{1+|x_n|}\le \sum _{n=N+1}^{\infty }{2}^{-n}<\frac{\epsilon }{2}.$$

于是 $d(x,y)<\epsilon$，故 $D$ 在 $s$ 中稠密。因此 $s$ 也是可分度量空间。

综上，$c_0$ 和 $s$ 均为可分度量空间。∎