习题 1.22

在 $C[a,b]$ 上赋予度量 $d_{\infty }$, 设 $Y=\{x\in C[a,b]:x(a)=x(b)\}$. 求证 : $Y$ 为 $C[a,b]$ 的完备度量子空间.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：已知赋予度量 (d_\infty) 的连续函数空间 (C[a,b]) 是完备的度量空间（一致收敛的连续函数极限仍是连续函数）。
考虑子集 (Y = { x \in C[a,b] : x(a) = x(b) })。下证 (Y) 是 (C[a,b]) 的闭子集。

设 ({x_n} \subseteq Y) 且 (x_n \xrightarrow{d_\infty} x)，即 (x_n) 一致收敛于某个 (x \in C[a,b])。由于一致收敛蕴含逐点收敛，对任意 (t \in [a,b]) 有 (x_n(t) \to x(t))，特别地
$$x_n(a)\to x(a),x_n(b)\to x(b).$$
因为对每个 (n) 都有 (x_n(a) = x_n(b))，取极限得 (x(a) = x(b))，故 (x \in Y)。因此 (Y) 是 (C[a,b]) 的闭子集。

完备度量空间的闭子空间仍是完备的，所以 ((Y, d_\infty)) 是完备的度量子空间。 ∎