习题 1.23

设 $X$ 为完备度量空间, 非空子集 $F\subset X$ 的直径定义为 $$\mathrm{diam}(F)=\underset{x,y\in F}{\sup }d(x,y).$$ 设 $F_n\subset X$ 为非空闭集, 且任取 $n\ge 1$, $F_{n+1}\subset F_n$, 又设 ${\lim }_{n\to \infty }\mathrm{diam}\left(F_n\right)=0$. 求证: ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{F}_n$ 为单点集. 举例说明条件 ${\lim }_{n\to \infty }\mathrm{diam}\left(F_n\right)=0$ 是必要的.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：任取 $x_n\in F_n$。由于 $F_{n+1}\subset F_n$，故当 $m\ge n$ 时 $x_m\in F_m\subset F_n$，从而
$$d(x_m,x_n)\le \mathrm{diam}(F_n)(m\ge n).$$
因为 $\underset{n\to \infty }{\lim }\mathrm{diam}(F_n)=0$，所以 $\{x_n\}$ 是 Cauchy 列。由 $X$ 的完备性，存在 $x\in X$ 使得 $x_n\to x$。

下证 $x\in {\bigcap }_{n=1}^{\infty }{F}_n$。固定 $n$，当 $k\ge n$ 时 $x_k\in F_n$，即 $\{x_k{\}}_{k\ge n}$ 是 $F_n$ 中收敛于 $x$ 的序列。$F_n$ 是闭集，故 $x\in F_n$。由 $n$ 的任意性知 $x\in {\bigcap }_{n=1}^{\infty }{F}_n$。

再证唯一性。若 $y\in {\bigcap }_{n=1}^{\infty }{F}_n$，则对任意 $n$ 有 $x,y\in F_n$，于是
$$d(x,y)\le \mathrm{diam}(F_n).$$
令 $n\to \infty$ 得 $d(x,y)=0$，从而 $x=y$。因此 ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{F}_n$ 恰含一个点。

举例说明条件 ${\lim }_{n\to \infty }\mathrm{diam}(F_n)=0$ 是必要的：取 $X=\mathbb{R}$（完备度量空间），令
$$F_n=[n,\infty ),n\ge 1.$$
每个 $F_n$ 是非空闭集，且 $F_{n+1}\subset F_n$。但 $\mathrm{diam}(F_n)={\sup }_{x,y\in [n,\infty )}|x-y|=+\infty$，不趋于 $0$。此时 ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{F}_n=\varnothing$，不是单点集。
（也可考虑 $F_n=[0,1+\frac{1}{n}]$，此时 $\mathrm{diam}(F_n)=1+\frac{1}{n}\to 1\ne 0$，而 ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{F}_n=[0,1]$ 包含无穷多点。）
由此可见条件 ${\lim }_{n\to \infty }\mathrm{diam}(F_n)=0$ 不可去掉。