习题 1.24

设 $(X,d)$ 为度量空间, 求证: $M\subset X$ 为有界集当且仅当任取 $x\in X$, 存在 $r>0$, 使得 $M\subset B(x,r)$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：

设 $(X,d)$ 为度量空间，$M\subset X$. 按定义，$M$ 称为有界集是指存在 $x_0\in X$ 和 $R>0$，使得 $M\subset B(x_0,R)$.

• $(\Rightarrow )$ （有界 $\Rightarrow$ 对任意 $x$ 存在包含球）

若 $M$ 有界，则存在 $x_0\in X$ 及 $R>0$ 满足 $M\subset B(x_0,R)$. 任取 $x\in X$，令
$$r=R+d(x,x_0)>0.$$
对任意 $y\in M$，由三角不等式得
$$d(y,x)\le d(y,x_0)+d(x_0,x)<R+d(x,x_0)=r,$$
故 $y\in B(x,r)$. 因此 $M\subset B(x,r)$. 这说明对任意 $x\in X$ 都存在 $r>0$ 使得 $M\subset B(x,r)$.

• $(\Leftarrow )$ （对任意 $x$ 存在包含球 $\Rightarrow$ 有界）

若对任意 $x\in X$ 都存在 $r_x>0$ 使得 $M\subset B(x,r_x)$，特别地，取定一个 $x_0\in X$，则存在 $r_0>0$ 使得 $M\subset B(x_0,r_0)$. 这正是有界集的定义，故 $M$ 有界.

综上，$M\subset X$ 为有界集当且仅当对任意 $x\in X$ 均存在 $r>0$ 使得 $M\subset B(x,r)$. $\square$