习题 1.25

设 $B[a,b]$ 为定义在 $[a,b]$ 上的所有有界函数. 若 $x,y\in B[a,b]$, 定义 $$d_{\infty }(x,y)=\underset{t\in [a,b]}{\sup }|x(t)-y(t)|.$$ 求证:

1. $d_{\infty }$ 为 $B[a,b]$ 上的度量;

2. $C[a,b]$ 赋子度量 $d_{\infty }$ 为 $B[a,b]$ 的闭集;

3. $B[a,b]$ 为不可分度量空间;

4. $B[a,b]$ 为完备度量空间.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

1. $d_{\infty }$ 为 $B[a,b]$ 上的度量

任取 $x,y,z\in B[a,b]$。

• 非负性：$|x(t)-y(t)|\ge 0$ 对所有 $t\in [a,b]$ 成立，故 $d_{\infty }(x,y)={\sup }_t|x(t)-y(t)|\ge 0$。若 $x=y$，则 ${\sup }_t|x(t)-y(t)|=0$；反之，若 $d_{\infty }(x,y)=0$，则对每个 $t$ 有 $|x(t)-y(t)|=0$，即 $x(t)=y(t)$，故 $x=y$。
• 对称性：$d_{\infty }(x,y)={\sup }_t|x(t)-y(t)|={\sup }_t|y(t)-x(t)|=d_{\infty }(y,x)$。
• 三角不等式：对任意 $t\in [a,b]$， $$|x(t)-z(t)|\le |x(t)-y(t)|+|y(t)-z(t)|\le d_{\infty }(x,y)+d_{\infty }(y,z).$$ 两边取上确界得 $d_{\infty }(x,z)\le d_{\infty }(x,y)+d_{\infty }(y,z)$。

因此 $d_{\infty }$ 是 $B[a,b]$ 上的度量。

2. $C[a,b]$ 为 $B[a,b]$ 的闭集

设 $\{x_n\}\subset C[a,b]$ 且 $x_n\to x$ 于 $(B[a,b],d_{\infty })$，即 $d_{\infty }(x_n,x)\to 0$。则 $\{x_n\}$ 一致收敛于 $x$。由数学分析中的经典结论：一致收敛的连续函数序列的极限函数连续，故 $x\in C[a,b]$。下面给出严格证明：

任取 $t_0\in [a,b]$，$\epsilon >0$，存在 $N$ 使得 $n\ge N$ 时 $d_{\infty }(x_n,x)<\epsilon /3$。取定 $n=N$，由于 $x_N$ 连续，存在 $\delta >0$ 使得当 $|t-t_0|<\delta$ 时 $|x_N(t)-x_N(t_0)|<\epsilon /3$。于是当 $|t-t_0|<\delta$ 时， $$|x(t)-x(t_0)|\le |x(t)-x_N(t)|+|x_N(t)-x_N(t_0)|+|x_N(t_0)-x(t_0)|<\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}=\epsilon .$$ 故 $x$ 在 $t_0$ 连续，因此 $x\in C[a,b]$。所以 $C[a,b]$ 是 $B[a,b]$ 的闭子集。

3. $B[a,b]$ 为不可分度量空间

假设 $B[a,b]$ 可分，则存在可数稠密子集 $D\subset B[a,b]$。构造一簇不可数个函数：对每个 $r\in [a,b]$，定义 $$x_r(t)=\{\begin{array}{ll}1,& t=r,\\ 0,& t\ne r.\end{array}$$ 显然 $x_r\in B[a,b]$，且当 $r\ne s$ 时，$|x_r(r)-x_s(r)|=1$，故 $d_{\infty }(x_r,x_s)=1$。

因为 $D$ 稠密，对每个 $r$ 可选 $y_r\in D$ 使得 $d_{\infty }(x_r,y_r)<\frac{1}{2}$。若 $r\ne s$，则 $$d_{\infty }(y_r,y_s)\ge d_{\infty }(x_r,x_s)-d_{\infty }(x_r,y_r)-d_{\infty }(x_s,y_s)>1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0,$$ 从而 $y_r\ne y_s$。于是 $r\mapsto y_r$ 是从不可数集 $[a,b]$ 到可数集 $D$ 的单射，矛盾。因此 $B[a,b]$ 不可分。

4. $B[a,b]$ 为完备度量空间

设 $\{x_n\}$ 是 $B[a,b]$ 中的 Cauchy 序列，即对任意 $\epsilon >0$，存在 $N$ 使得当 $n,m\ge N$ 时 $d_{\infty }(x_n,x_m)<\epsilon$。于是对每个固定的 $t\in [a,b]$， $$|x_n(t)-x_m(t)|\le d_{\infty }(x_n,x_m)<\epsilon ,$$ 故 $\{x_n(t)\}$ 是 $\mathbb{R}$ 中的 Cauchy 序列，从而收敛。定义函数 $x(t)={\lim }_{n\to \infty }{x}_n(t)$。

先证 $x_n$ 一致收敛于 $x$。对上述 $\epsilon$ 及 $n\ge N$，令 $m\to \infty$ 得 $$|x_n(t)-x(t)|\le \epsilon (\forall t\in [a,b]).$$ 因此 ${\sup }_t|x_n(t)-x(t)|\le \epsilon$，即 $d_{\infty }(x_n,x)\le \epsilon$。故 $d_{\infty }(x_n,x)\to 0$。

再证 $x$ 有界。取 $\epsilon =1$，存在 $N$ 使 $d_{\infty }(x_N,x)\le 1$，于是 $$\underset{t}{\sup }|x(t)|\le \underset{t}{\sup }|x_N(t)|+\underset{t}{\sup }|x(t)-x_N(t)|\le \Vert x_N{\Vert }_{\infty }+1<\infty ,$$ 故 $x\in B[a,b]$。

综上所述，$B[a,b]$ 中的每个 Cauchy 序列都收敛于 $B[a,b]$ 中元素，所以 $(B[a,b],d_{\infty })$ 是完备度量空间。