习题 1.26

设 $\left(X,d_X\right)$ 和 $\left(Y,d_Y\right)$ 为度量空间, $C\ge 0$, $\alpha >0$, 映射 $T:X\to Y$ 满足 : 任取 $x_1,x_2\in X$, 都有 $d_Y\left(T{x}_1,T{x}_2\right)\le C{d}_X{\left(x_1,x_2\right)}^{\alpha }$. 求证: $T$ 为连续映射.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明

设任意 (x_0 \in X)，要证 (T) 在 (x_0) 处连续。任取 (\varepsilon > 0)，分两种情况。

1. 若 (C = 0)
   此时对任意 (x \in X) 有
   $$d_Y(Tx,T{x}_0)\le C{d}_X(x,x_0{)}^{\alpha }=0,$$
   故 (d_Y(Tx, Tx_0)=0 < \varepsilon)。取 (\delta = 1)（或任意正数），当 (d_X(x, x_0) < \delta) 时，均有 (d_Y(Tx, Tx_0) < \varepsilon)。因此 (T) 在 (x_0) 处连续。

2. 若 (C > 0)
   取 (\delta = \left(\dfrac{\varepsilon}{C}\right)^{1/\alpha} > 0)。则当 (d_X(x, x_0) < \delta) 时，
   $$d_Y(Tx,T{x}_0)\le C{d}_X(x,x_0{)}^{\alpha }<C{\delta }^{\alpha }=C\cdot \frac{\epsilon }{C}=\epsilon .$$
   故 (T) 在 (x_0) 处连续。

由 (x_0) 的任意性，(T) 是 (X) 到 (Y) 的连续映射。∎