习题 1.27

设 $X,Y$ 为度量空间, $T:X\to Y$ 为映射. 求证: $T$ 为连续映射当且仅当任取 $M\subset X$, 都有 $T(\bar{M})\subset \overline{T(M)}$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：

1. 若 $T$ 连续，则对任意 $M\subset X$ 有 $T(\overline{M})\subset \overline{T(M)}$。

任取 $x\in \overline{M}$，由于 $X$ 是度量空间，存在序列 $\{x_n\}\subset M$ 使得 $x_n\to x$。
由 $T$ 的连续性得 $T(x_n)\to T(x)$。因为 $T(x_n)\in T(M)$，所以 $T(x)$ 是 $T(M)$ 中序列的极限，故 $T(x)\in \overline{T(M)}$。
因此 $T(\overline{M})\subset \overline{T(M)}$。

2. 若对任意 $M\subset X$ 有 $T(\overline{M})\subset \overline{T(M)}$，则 $T$ 连续。

用反证法。假设 $T$ 在某点 $x_0\in X$ 处不连续，则存在 ${\epsilon }_0>0$，使得对任意 $\delta >0$，总存在 $y\in X$ 满足 $$d_X(x_0,y)<\delta \text{但}{d}_Y(T(x_0),T(y))\ge {\epsilon }_0.$$

取 ${\delta }_n=1/n(n\in \mathbb{N})$，可选取点列 $\{y_n\}\subset X$，使得 $$d_X(x_0,y_n)<\frac{1}{n},d_Y(T(x_0),T(y_n))\ge {\epsilon }_0(\forall n).$$

令 $M=\{y_n:n\in \mathbb{N}\}$。由于 $y_n\to x_0$，故 $x_0\in \overline{M}$。由题设条件得 $$T(x_0)\in T(\overline{M})\subset \overline{T(M)}.$$ 因此 $T(x_0)$ 属于 $T(M)$ 的闭包。在度量空间中，一点属于集合的闭包当且仅当存在该集合中的序列收敛于该点，所以存在 $T(M)$ 中的序列收敛于 $T(x_0)$。但 $T(M)=\{T(y_n):n\in \mathbb{N}\}$，从而存在子列 $\{T(y_{n_k})\}$ 收敛于 $T(x_0)$。然而由构造， $$d_Y(T(x_0),T(y_{n_k}))\ge {\epsilon }_0(\forall k),$$ 这与收敛性矛盾。因此假设不成立，$T$ 在每点都连续。

综上，$T$ 连续当且仅当对任意 $M\subset X$ 有 $T(\overline{M})\subset \overline{T(M)}$。