习题 1.28

设 $1\le p<\infty$. 求证: ${\ell }^p$ 的子集 $M=\left\{\left\{x_n\right\}:\left|x_n\right|\le \frac{1}{n}\right\}$ 为紧集.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

解. 我们分两种情况讨论：当 $1<p<\infty$ 时 $M$ 是紧集；当 $p=1$ 时 $M$ 不是紧集（给出反例）。以下设 ${\ell }^p$ 为实序列空间，范数为 $\Vert x{\Vert }_p=({\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^p{)}^{1/p}$。

1. $1<p<\infty$ 的情形

步骤 1：证明 $M$ 是闭集.

设 $\{x^{(k)}\}\subset M$ 且 $x^{(k)}\to x$ 于 ${\ell }^p$。对每个固定的 $n$，坐标映射 $x\mapsto x_n$ 是连续线性泛函（因为由 Hölder 不等式 $|x_n|\le \Vert x{\Vert }_p$）。故 $x_n^{(k)}\to x_n$。由 $|x_n^{(k)}|\le 1/n$ 取极限得 $|x_n|\le 1/n$。又 $x\in {\ell }^p$，所以 $x\in M$。因此 $M$ 闭。

步骤 2：证明 $M$ 完全有界.

任给 $\epsilon >0$。因为 $p>1$，级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$ 收敛，故存在 $N\in \mathbb{N}$ 使得 $$\sum _{n=N+1}^{\infty }\frac{1}{n^p}<(\frac{\epsilon }{2}{)}^p.$$

考虑有限维空间 ${\mathbb{R}}^N$ 中的紧集 $$K_N=\prod _{n=1}^N[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}]\subset {\mathbb{R}}^N.$$ $K_N$ 在 ${\mathbb{R}}^N$ 的 ${\ell }^p$ 范数下是紧的，因此存在有限集 $F\subset K_N$ 使得 $F$ 是 $K_N$ 的 $(\epsilon /2)$-网，即对任意 $a\in K_N$，存在 $b\in F$ 满足 $$\Vert a-b{\Vert }_p=(\sum _{n=1}^N|a_n-b_n{|}^p{)}^{1/p}<\frac{\epsilon }{2}.$$

对每个 $b\in F$，定义序列 $z(b)\in {\ell }^p$ 为 $$z(b{)}_n=\{\begin{array}{ll}{b}_n,& 1\le n\le N,\\ 0,& n>N.\end{array}$$ 由于 $|b_n|\le 1/n$ 且 $0\le 1/n$，有 $z(b)\in M$。现证 $\{z(b):b\in F\}$ 是 $M$ 的有限 $\epsilon$-网。

任取 $x\in M$，记 $a=(x_1,\dots ,x_N)\in K_N$。选取 $b\in F$ 使 $\Vert a-b{\Vert }_p<\epsilon /2$，并令 $z=z(b)$。则 $$\Vert x-z{\Vert }_p^p=\sum _{n=1}^N|x_n-b_n{|}^p+\sum _{n=N+1}^{\infty }|x_n{|}^p.$$ 第一项 $<(\epsilon /2{)}^p$；第二项由 $|x_n|\le 1/n$ 得 $$\sum _{n=N+1}^{\infty }|x_n{|}^p\le \sum _{n=N+1}^{\infty }\frac{1}{n^p}<(\frac{\epsilon }{2}{)}^p.$$ 故 $\Vert x-z{\Vert }_p^p<{\epsilon }^p$，即 $\Vert x-z{\Vert }_p<\epsilon$。因此 $M$ 完全有界。

步骤 3：紧性.

${\ell }^p$ 是完备度量空间，而 $M$ 是闭且完全有界的，所以 $M$ 是紧集。

2. $p=1$ 的情形

此时 $M$ 不是紧集。构造反例如下：对 $k\in \mathbb{N}$，定义 $x^{(k)}\in {\ell }^1$ 为 $$x_n^{(k)}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{n},& 1\le n\le k,\\ 0,& n>k.\end{array}$$ 显然 $|x_n^{(k)}|\le 1/n$，且只有有限项非零，故 $x^{(k)}\in M$。但 $$\Vert x^{(k)}{\Vert }_1=\sum _{n=1}^k\frac{1}{n}\to \infty (k\to \infty ),$$ 所以 $M$ 无界。在度量空间中紧集必是有界的，因此 $M$ 不可能是紧集。

注. 原题条件为 $1\le p<\infty$，但实际结论对 $p=1$ 不成立；当 $1<p<\infty$ 时 $M$ 为紧集。