习题 1.29

设 $(X,d)$ 为度量空间, 求证:

1. 有限个紧集的并集还为紧集;

2. 具有下述性质的集合 $M$ 为紧集 : 任取 ${\left(G_i\right)}_{i\in I}$ 为一族开集, 使得 $M\subset {\bigcup }_{i\in I}{G}_i$, 总存在有限个下标 $i_1,i_2,\cdots ,i_n$, 使得 $M\subset {\bigcup }_{j=1}^n{G}_{i_j}$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

1. 有限个紧集的并集还为紧集

证明：在度量空间 $(X,d)$ 中，我们采用序列紧的定义：集合 $K\subset X$ 称为紧集，如果 $K$ 中任意序列都有在 $K$ 中收敛的子序列。

设 $K_1,\dots ,K_n$ 均为紧集，记 $K={\bigcup }_{i=1}^n{K}_i$。任取序列 $\{x_m\}\subset K$，由抽屉原理，存在某个 $i\in \{1,\dots ,n\}$ 使得无限多个 $x_m$ 属于 $K_i$。将这些项按原次序排列得到 $K_i$ 中的一个子序列。因为 $K_i$ 紧，该子序列又有子序列 $\{x_{m_k}\}$ 收敛于某点 $x\in K_i\subset K$。于是 $\{x_{m_k}\}$ 就是 $\{x_m\}$ 在 $K$ 中收敛的子序列，故 $K$ 是紧集。

2. 具有下述性质的集合 $M$ 为紧集：
 任取一族开集 $(G_i{)}_{i\in I}$ 使得 $M\subset {\bigcup }_{i\in I}{G}_i$，总存在有限个下标 $i_1,\dots ,i_n$ 使得 $M\subset {\bigcup }_{j=1}^n{G}_{i_j}$。

证明：我们证明此性质蕴含序列紧，从而 $M$ 是紧集（按序列紧定义）。

反设 $M$ 不是序列紧，则存在序列 $\{x_n\}\subset M$ 没有收敛的子序列。令 $S=\{x_n\mid n\in \mathbb{N}\}$，则 $S$ 是无限集且没有聚点（若有聚点 $p$，则可从 $\{x_n\}$ 中取出收敛于 $p$ 的子列，矛盾）。

由于 $S$ 无聚点，对每个 $y\in M$ 可选取半径 ${\epsilon }_y>0$ 使得

• 若 $y\in S$，则 $B(y,{\epsilon }_y)\cap S=\{y\}$；
• 若 $y\notin S$，则 $B(y,{\epsilon }_y)\cap S=\varnothing$。

开集族 $\{B(y,{\epsilon }_y)\mid y\in M\}$ 构成 $M$ 的一个开覆盖。由题设条件，存在有限个点 $y_1,\dots ,y_k\in M$ 使得 $$M\subset \bigcup _{j=1}^{k}B(y_j,{\epsilon }_{y_j}).$$ 但每个球 $B(y_j,{\epsilon }_{y_j})$ 至多包含 $S$ 中的一个点（若球心 $y_j\in S$）或不包含 $S$ 的点（若 $y_j\notin S$），因此这些有限个球的并至多包含 $S$ 中 $k$ 个点。然而 $S$ 是无限集且 $S\subset M$，矛盾。

所以假设不成立，$M$ 必为序列紧集，从而是紧集。