习题 1.30

设 $(X,d)$ 为度量空间, $M\subset X$ 为非空子集. 求证:

1. $M$ 为有界集当且仅当 $\mathrm{diam}(M)<\infty$;

2. 若 $M$ 为紧集, 则存在 $x_0,y_0\in M$, 使得 $\mathrm{diam}(M)=d\left(x_0,y_0\right)$;

3. 举例说明当 $M$ 为有界闭集时 (2) 中的结论不成立.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

1. 证明 $M$ 有界当且仅当 $\mathrm{diam}(M)<\infty$.

• 必要性：若 $M$ 有界，则存在 $a\in X$ 及 $r>0$ 使得 $M\subset B(a,r)$. 对任意 $x,y\in M$, $$d(x,y)\le d(x,a)+d(a,y)<2r,$$ 故 ${\sup }_{x,y\in M}d(x,y)\le 2r<\infty$, 即 $\mathrm{diam}(M)<\infty$.

• 充分性：若 $\mathrm{diam}(M)=D<\infty$, 取定 $x_0\in M$, 则对任意 $y\in M$ 有 $d(y,x_0)\le D$, 从而 $M\subset B(x_0,D+1)$. 因此 $M$ 有界.

2. 若 $M$ 为紧集, 证明存在 $x_0,y_0\in M$ 使得 $\mathrm{diam}(M)=d(x_0,y_0)$.

因 $M$ 紧, 乘积空间 $M\times M$ 亦紧 (度量空间中有限个紧集的乘积是紧的). 距离函数 $d:M\times M\to \mathbb{R}$ 连续 (度量本身连续). 连续函数在紧集上必达到最大值, 故存在 $(x_0,y_0)\in M\times M$ 使得 $$d(x_0,y_0)=\underset{(x,y)\in M\times M}{\max }d(x,y)=\mathrm{diam}(M).$$

3. 有界闭集 $M$ 且 $\mathrm{diam}(M)$ 不可达的例子.

取 $X=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, 配备通常的欧氏距离 $d(x,y)=|x-y|$. 令 $$M=\{1-\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\}.$$

• 有界性：显然 $M\subset [0,1)\subset B(0,2)$, 故 $M$ 有界.
• 闭性：在 $\mathbb{R}$ 中 $F=M\cup \{1\}$ 是闭集 (它包含了唯一的极限点 $1$). 因为 $X=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, 所以 $M=F\cap X$, 由子空间拓扑知 $M$ 是 $X$ 中的闭集. 亦可直接论证: 若 $\{x_k\}\subset M$ 在 $X$ 中收敛于 $x\in X$, 则在 $\mathbb{R}$ 中亦收敛于 $x$; 但 $M$ 在 $\mathbb{R}$ 中的极限点只有 $1\notin X$, 故该序列只能是最终常值的, 从而 $x\in M$.
• 直径计算： $$\mathrm{diam}(M)=\underset{m,n}{\sup }\left|\right(1-\frac{1}{m})-(1-\frac{1}{n}\left)\right|=\underset{m,n}{\sup }|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}|=1,$$ 因为取 $m=1$, $n\to \infty$ 时 $|0-(1-1/n)|\to 1$.
• 不可达性：对任意 $m,n\in \mathbb{N}$, [ \Bigl|\Bigl(1-\frac1m\Bigr)-\Bigl(1-\frac1n\Bigr)\Bigr|=\Bigl|\frac1n-\frac1m\Bigr|<1. ] 事实上, 若 $m=1$ 则 $x=0$, $y=1-1/n<1$, 差 $<1$; 若 $m>1$, 则 $|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}|\le \max \{\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}=\frac{1}{2}<1$. 因此不存在 $x,y\in M$ 使得 $|x-y|=1$, 即 $\mathrm{diam}(M)$ 在 $M$ 中不可达.

此例表明, 当 $M$ 仅为有界闭集 (非紧) 时, (2) 的结论未必成立.