习题 1.31

设 $(X,d)$ 为度量空间, $M,N\subset X$ 为非空子集. 定义 $M$ 和 $N$ 的距离为 $$\rho (M,N)=\underset{x\in M,y\in N}{\inf }d(x,y).$$ 求证:

1. 若 $\mathcal{P}(X)$ 为 $X$ 的所有非空子集所构成的集合, $\rho$ 一般不是 $\mathcal{P}(X)$ 上的度量;

2. 若 $M$ 为紧集, $N$ 为闭集, 则 $M\cap N=\varnothing$ 当且仅当 $\rho (M,N)>0$;

3. 举例说明当 $M$ 为有界闭集时(2) 中的结论不成立;

4. 若 $M,N$ 均为紧集, 存在 $x_0\in M$, $y_0\in N$, 使得 $\rho (M,N)=d\left(x_0,y_0\right)$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

1. 证明 $\rho$ 一般不是 $\mathcal{P}(X)$ 上的度量

只需指出 $\rho$ 不满足度量公理中的“ $\rho (M,N)=0⟺M=N$ ”。
取 $X=\mathbb{R}$，$M=\{0\}$，$N=(0,1]$。则 $M$ 与 $N$ 均为非空子集，且 $M\cap N=\varnothing$，故 $M\ne N$。
但 $\rho (M,N)={\inf }_{x\in M,y\in N}d(x,y)={\inf }_{y\in (0,1]}|0-y|=0$，因此 $\rho (M,N)=0$ 而 $M\ne N$。
这表明 $\rho$ 不能作为 $\mathcal{P}(X)$ 上的度量。

2. 设 $M$ 紧，$N$ 闭，则 $M\cap N=\varnothing ⟺\rho (M,N)>0$

• $(\Leftarrow )$：若 $\rho (M,N)>0$，则对任意 $x\in M,y\in N$ 有 $d(x,y)\ge \rho (M,N)>0$，特别地不存在 $x\in M$ 同时属于 $N$，故 $M\cap N=\varnothing$。
• $(\Rightarrow )$：假设 $M\cap N=\varnothing$ 但 $\rho (M,N)=0$。由下确界定义，存在序列 $\{x_n\}\subset M$，$\{y_n\}\subset N$ 使得 $d(x_n,y_n)\to 0$。
  因 $M$ 紧，$\{x_n\}$ 有收敛子列 $x_{n_k}\to x_0\in M$。由三角不等式 [ d(y_{n_k},x_0)\le d(y_{n_k},x_{n_k})+d(x_{n_k},x_0)\to 0, ] 故 $y_{n_k}\to x_0$。由于 $N$ 是闭集，其极限 $x_0$ 属于 $N$，从而 $x_0\in M\cap N$，与 $M\cap N=\varnothing$ 矛盾。
  因此必有 $\rho (M,N)>0$。

3. 有界闭集情形下结论不成立的例子

取 $X=(0,1)$，赋予通常欧氏距离。令 $$M=(0,\frac{1}{2}],N=(\frac{1}{2},1).$$

• $M$ 在 $X$ 中是有界闭集：$M$ 有界显然；在子空间拓扑下 $M=[0,\frac{1}{2}]\cap X$，而 $[0,\frac{1}{2}]$ 是 $\mathbb{R}$ 中的闭集，故 $M$ 为 $X$ 中的闭集。
• $N$ 也是闭集（同理 $N=[\frac{1}{2},1]\cap X$）。
• $M\cap N=\varnothing$。
• 但 $\rho (M,N)=0$：取 $x_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{n}$（当 $n>2$ 时 $x_n\in M$），$y_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{n}$，则 $d(x_n,y_n)=2/n\to 0$，故下确界为 $0$。
  因此 $M$ 为有界闭集（非紧），$N$ 为闭集，$M\cap N=\varnothing$ 但 $\rho (M,N)=0$，表明 (2) 的结论在无紧性假设时不成立。

4. 若 $M,N$ 均为紧集，则存在 $x_0\in M,y_0\in N$ 使 $\rho (M,N)=d(x_0,y_0)$

由于 $M,N$ 紧，其乘积 $M\times N$ 为紧空间（赋予乘积拓扑，度量可用例如 $d_{\infty }((x,y),(x^{\prime },y^{\prime }))=\max \{d(x,x^{\prime }),d(y,y^{\prime })\}$）。
距离函数 $d:M\times N\to \mathbb{R}$ 是连续的（因为 $|d(x,y)-d(x^{\prime },y^{\prime })|\le d(x,x^{\prime })+d(y,y^{\prime })$）。
连续函数在紧集上必能达到最小值，故存在 $(x_0,y_0)\in M\times N$ 使得 $$d(x_0,y_0)=\underset{(x,y)\in M\times N}{\min }d(x,y)=\underset{x\in M,y\in N}{\inf }d(x,y)=\rho (M,N).$$ 因此结论成立。