习题 1.32

设 $1\le p<\infty$, $M\subset {\ell }^p$. 求证: $M$ 为相对紧集当且仅当 $M$ 为有界集, 且任取 $\epsilon >0$, 存 在 $N\ge 1$, 使得任给 $\left\{x_n\right\}\in M$, 都有 ${\sum }_{n=N}^{\infty }{\left|x_n\right|}^p<\epsilon$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

设 $1\le p<\infty$，$M\subset {\ell }^p$。以下证明 $M$ 是相对紧的当且仅当 $M$ 有界且满足一致尾小条件：对任意 $\epsilon >0$，存在 $N\in \mathbb{N}$ 使得对任意 $x=(x_n)\in M$ 有 $$\sum _{n=N}^{\infty }|x_n{|}^p<\epsilon .$$

由于 ${\ell }^p$ 是完备的度量空间，集合相对紧等价于完全有界（即预紧）。以下证明均使用这一等价性质。

必要性（相对紧 $\Rightarrow$ 有界且一致尾小）

设 $M$ 相对紧，则 $M$ 完全有界且显然有界。任取 $\epsilon >0$，令 $\delta ={\epsilon }^{1/p}/2$。由完全有界性，存在有限子集 $F\subset M$ 使得 $$M\subset \bigcup _{y\in F}B(y,\delta ).$$ 对每个 $y\in F$，因 $y\in {\ell }^p$，故存在 $N_y$ 使得 $$\Vert y_{>N_y}{\Vert }_p=(\sum _{n=N_y}^{\infty }|y_n{|}^p{)}^{1/p}<\delta .$$ 取 $N={\max }_{y\in F}{N}_y$，则对任意 $y\in F$ 有 $\Vert y_{>N}{\Vert }_p<\delta$。

对任意 $x\in M$，选取 $y\in F$ 满足 $\Vert x-y{\Vert }_p<\delta$，则 $$\Vert x_{>N}{\Vert }_p\le \Vert (x-y{)}_{>N}{\Vert }_p+\Vert y_{>N}{\Vert }_p\le \Vert x-y{\Vert }_p+\Vert y_{>N}{\Vert }_p<\delta +\delta =2\delta ={\epsilon }^{1/p}.$$ 从而 $$\sum _{n=N}^{\infty }|x_n{|}^p=\Vert x_{>N}{\Vert }_p^p<\epsilon .$$ 故一致尾小条件成立。

充分性（有界且一致尾小 $\Rightarrow$ 相对紧）

假设 $M$ 有界，且对任意 $\epsilon >0$ 存在 $N$ 使得 $$\sum _{n=N}^{\infty }|x_n{|}^p<\epsilon (\forall x\in M).$$

欲证 $M$ 完全有界。给定 $\epsilon >0$，取 $N$ 使得对一切 $x\in M$ 有 $$\sum _{n=N}^{\infty }|x_n{|}^p<{\left(\frac{\epsilon }{2}\right)}^p,$$ 即 $\Vert x_{>N}{\Vert }_p<\epsilon /2$。

考虑投影 $P_N:{\ell }^p\to {\mathbb{R}}^N$（或 ${\mathbb{C}}^N$），$P_N(x)=(x_1,\dots ,x_N)$，并令 $M_N=P_N(M)$。因 $M$ 有界，存在 $R>0$ 使 $\Vert x{\Vert }_p\le R$ 对所有 $x\in M$ 成立，于是对任意 $y\in M_N$ 有 $$\Vert y{\Vert }_p=(\sum _{n=1}^N|y_n{|}^p{)}^{1/p}\le \Vert x{\Vert }_p\le R,$$ 故 $M_N$ 是有限维空间 ${\mathbb{R}}^N$ 中的有界集。有限维空间中的有界集完全有界，因此存在有限个点 $z^{(1)},\dots ,z^{(m)}\in {\mathbb{R}}^N$ 使得 $$M_N\subset \bigcup _{j=1}^m{B}_{{\mathbb{R}}^N}(z^{(j)},\epsilon /2),$$ 其中 $B_{{\mathbb{R}}^N}$ 表示 ${\mathbb{R}}^N$ 中以 ${\ell }^p$-范数度量的球。

对每个 $j$，定义 $x^{(j)}\in {\ell }^p$ 为 $$x^{(j)}=(z_1^{(j)},\dots ,z_N^{(j)},0,0,\dots ).$$

现在验证 $\{x^{(j)}{\}}_{j=1}^m$ 构成 $M$ 的一个 $\epsilon$-网。任取 $x\in M$，令 $y=P_N(x)\in M_N$，则存在 $j$ 使得 $\Vert y-z^{(j)}{\Vert }_p<\epsilon /2$。于是 $$\Vert x-x^{(j)}{\Vert }_p\le \Vert P_N(x)-z^{(j)}{\Vert }_p+\Vert x_{>N}{\Vert }_p<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon ,$$ 其中第一个不等式利用了三角不等式：将 $x-x^{(j)}$ 分解为前 $N$ 坐标之差（尾部为零）与尾部 $x_{>N}$ 之和。

因此 $M$ 完全有界，从而相对紧。

综上，命题得证。