习题 1.33

设 $M\subset {\ell }^{\infty }$. 求证: $M$ 为相对紧集当且仅当 $M$ 为有界集, 且任取 $\epsilon >0$, 存在 $N\ge 1$, 使得任给 $\left\{x_n\right\}\in M$, 都有 ${\sup }_{n\ge N}\left|x_n\right|<\epsilon$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

我们考虑 ${\ell }^{\infty }$ 中的子集 $M$，并探讨其相对紧性（即闭包紧）与下述条件的关系： $$\text{“}M\text{ 有界，且 }\forall \epsilon >0,\exists N\ge 1\text{ 使得 }\forall x\in M,\underset{n\ge N}{\sup }|x_n|<\epsilon \text{”。}$$ 注意到该条件实际上强制 $M\subset c_0$（每个序列的尾部一致小，故收敛到 $0$）。在此前提下，我们有：

• 充分性：若条件成立，则 $M$ 是 ${\ell }^{\infty }$ 中的相对紧集。
• 必要性：一般 ${\ell }^{\infty }$ 中相对紧集未必满足该条件（反例见后），但若附加 $M\subset c_0$，则必要性成立。通常教材中该定理的完整表述是针对 $c_0$ 子空间的。

下面给出严谨的证明及反例。

1. 预备知识

记 ${\ell }^{\infty }$ 为有界序列空间，范数 $\Vert x{\Vert }_{\infty }={\sup }_{n\ge 1}|x_n|$。$c_0$ 为收敛于 $0$ 的序列构成的闭子空间。在完备度量空间中，一个集合相对紧当且仅当它全有界（即对任意 $\epsilon >0$ 存在有限的 $\epsilon$-网）。

2. 充分性证明（条件 $\Rightarrow$ 相对紧）

假设：$M\subset {\ell }^{\infty }$ 有界，且 $$\forall \epsilon >0,\exists N\ge 1\text{ 使得 }\forall x\in M,\underset{n\ge N}{\sup }|x_n|<\epsilon .\text{\hspace{1em}(1)}$$

证：任取 $\epsilon >0$。

1. 由条件 (1)，存在 $N$ 使得对每个 $x\in M$ 有 ${\sup }_{n>N}|x_n|<\epsilon /2$。
2. 定义截断算子 $P_N:{\ell }^{\infty }\to {\ell }^{\infty }$，$(P_{N}x{)}_n=x_n$ 当 $1\le n\le N$，$(P_{N}x{)}_n=0$ 当 $n>N$。则 $\Vert x-P_{N}x{\Vert }_{\infty }={\sup }_{n>N}|x_n|<\epsilon /2$。
3. 考虑有限维截断集 $K=\{(x_1,\dots ,x_N)\mid x\in M\}\subset {\mathbb{R}}^N$（或 ${\mathbb{C}}^N$），赋予 ${\ell }^{\infty }$ 范数 $|a{|}_{\infty }={\max }_{1\le i\le N}|a_i|$。由于 $M$ 有界，存在 $B>0$ 使得 $\Vert x{\Vert }_{\infty }\le B$ 对所有 $x\in M$，故 $K$ 是有界集，从而在有限维空间中是全有界的。因此存在 $K$ 的有限 $\epsilon /2$-网 $\{a^{(1)},\dots ,a^{(m)}\}\subset {\mathbb{R}}^N$。
4. 将每个 $a^{(j)}$ 零延拓为 ${\ell }^{\infty }$ 中的序列 $z^{(j)}$：$z_n^{(j)}=a_n^{(j)}$（$1\le n\le N$），$z_n^{(j)}=0$（$n>N$）。
5. 对任意 $x\in M$，取 $j$ 使得 $|(x_1,\dots ,x_N)-a^{(j)}{|}_{\infty }<\epsilon /2$，则 [ |x - z^{(j)}|\infty = \max\Bigl{\max{1\le n\le N}|x_n - a^{(j)}n|,\ \sup{n> N}|x_n|\Bigr} < \max{\varepsilon/2,\ \varepsilon/2} = \varepsilon. ] 故 $\{z^{(1)},\dots ,z^{(m)}\}$ 是 $M$ 的有限 $\epsilon$-网。
6. 因此 $M$ 全有界。由于 ${\ell }^{\infty }$ 完备，全有界集必定相对紧。

3. 必要性证明（在 $c_0$ 中成立）

假设：$M\subset c_0$ 且 $M$ 在 ${\ell }^{\infty }$ 中相对紧（等价于在 $c_0$ 中相对紧，因 $c_0$ 闭）。则 $M$ 有界，且条件 (1) 成立。

证：

• 相对紧集必有界，故 $M$ 有界。
• 记 $K=\overline{M}$（在 ${\ell }^{\infty }$ 中的闭包），则 $K$ 是紧集且 $K\subset c_0$（$c_0$ 闭）。
• 给定 $\epsilon >0$，用半径 $\epsilon /3$ 的开球覆盖 $K$，由紧性存在有限子覆盖： [ K\subset\bigcup_{i=1}^{k} B(y^{(i)},\varepsilon/3),\quad y^{(i)}\in K. ]
• 每个 $y^{(i)}\in c_0$，故存在 $N_i$ 使得 ${\sup }_{n\ge N_i}|y_n^{(i)}|<\epsilon /3$。令 $N={\max }_{1\le i\le k}{N}_i$。
• 对任意 $x\in M$，存在 $i$ 使得 $\Vert x-y^{(i)}{\Vert }_{\infty }<\epsilon /3$。则当 $n\ge N$ 时， [ |x_n| \le |x_n - y^{(i)}_n| + |y^{(i)}_n| < \varepsilon/3 + \varepsilon/3 = 2\varepsilon/3 < \varepsilon. ] 因此 ${\sup }_{n\ge N}|x_n|<\epsilon$ 对所有 $x\in M$ 一致成立。必要性得证。

4. 反例：一般 ${\ell }^{\infty }$ 中必要性不成立

取 $M=\{x\}$，其中 $x=(1,1,1,\dots )\in {\ell }^{\infty }$。

• $M$ 是单点集，故为紧集（特别地相对紧），且有界。
• 但对 $\epsilon =1/2$，无论 $N$ 取多大，总有 ${\sup }_{n\ge N}|x_n|=1>1/2$，即条件 (1) 不满足。

这表明在 ${\ell }^{\infty }$ 中，相对紧集不一定满足所述尾条件。因此原命题中的等价关系对于 ${\ell }^{\infty }$ 并不成立；但若将 $M$ 限制在 $c_0$ 中，则等价性成立。事实上，条件 (1) 本身已蕴含 $M\subset c_0$，故充分性部分不需要额外假设 $M\subset c_0$；而必要性部分则需此假设（如上述证明）。

5. 总结

• 若 $M\subset {\ell }^{\infty }$ 有界且满足 $\forall \epsilon >0\exists N$ 使 ${\sup }_{n\ge N}|x_n|<\epsilon$ 对所有 $x\in M$ 一致成立，则 $M$ 相对紧。
• 反之，若 $M$ 相对紧且 $M\subset c_0$，则该条件成立；对于一般的 $M\subset {\ell }^{\infty }$，条件并非必要。