习题 1.34

设 $M\subset s$. 求证: $M$ 为相对紧集当且仅当对任取的 $n\ge 1$, 存在 ${\gamma }_n\ge 0$, 使得任给 $x=\left\{x_n\right\}\in M$, 都有 $\left|x_n\right|\le {\gamma }_n.$

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：

设 $s$ 为所有数列构成的空间，赋予乘积拓扑（即由坐标投影 ${\pi }_n(x)=x_n$ 给出的最弱拓扑）。在此拓扑下，$s$ 是 Hausdorff 空间且是可度量化的 Fréchet 空间。

必要性：若 $M$ 相对紧，则其闭包 $\overline{M}$ 是紧集。对每个固定的 $n$，投影映射 ${\pi }_n:s\to \mathbb{R}$（或 $\mathbb{C}$）连续，故 ${\pi }_n(\overline{M})$ 是 $\mathbb{R}$ 中的紧集，从而有界。于是存在 ${\gamma }_n\ge 0$，使得对任意 $x\in M\subseteq \overline{M}$ 均有 $|x_n|\le {\gamma }_n$。

充分性：若对每个 $n$ 存在 ${\gamma }_n\ge 0$，使得一切 $x\in M$ 满足 $|x_n|\le {\gamma }_n$。定义闭区间 $K_n=\{t\in \mathbb{R}:|t|\le {\gamma }_n\}$（若数域为 $\mathbb{C}$，则取圆盘 $\{z:|z|\le {\gamma }_n\}$，仍为紧集），则 $K_n$ 是 $\mathbb{R}$（或 $\mathbb{C}$）中的紧集。由 Tychonoff 定理，乘积 $K={\prod }_{n=1}^{\infty }{K}_n$ 在乘积拓扑下是紧集。因每个 $K_n$ 是闭集，$K$ 作为闭集的乘积也是 $s$ 中的闭集（对任一不在 $K$ 中的点，存在某个坐标不在 $K_n$ 中，其原像为开集且与 $K$ 不交，故 $K$ 的补集开，即 $K$ 闭）。

由条件知 $M\subseteq K$，因此 $\overline{M}\subseteq \overline{K}=K$（$K$ 闭）。于是 $\overline{M}$ 是紧集 $K$ 的闭子集（$\overline{M}$ 在 $s$ 中闭，而 $K$ 是 Hausdorff 空间 $s$ 的紧子集，故 $K$ 闭，$\overline{M}\subseteq K$ 且 $\overline{M}$ 闭，从而 $\overline{M}$ 作为 $K$ 的闭子集是紧的）。所以 $M$ 相对紧。

综上，$M\subset s$ 相对紧当且仅当存在一列非负实数 $\{{\gamma }_n\}$，使得对任意 $x=\{x_n\}\in M$ 和任意 $n\ge 1$ 均有 $|x_n|\le {\gamma }_n$。