习题 1.35

设 $X$ 为非空紧度量空间, 映射 $T:X\to X$ 满足: 任取 $x,y\in X$, $x\ne y$, 都有 $d(Tx,Ty)<d(x,y)$. 求证: $T$ 有唯一的不动点.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明 首先, 由条件可知 $T$ 是非扩张的: 对任意 $x,y\in X$, 若 $x=y$ 则 $d(Tx,Ty)=0=d(x,y)$; 若 $x\ne y$ 则由已知 $d(Tx,Ty)<d(x,y)$, 从而 $d(Tx,Ty)\le d(x,y)$. 因此 $T$ 是 Lipschitz 常数为 $1$ 的映射, 故 $T$ 一致连续, 当然连续.

定义连续函数 $f:X\to [0,\infty )$ 为 $f(x)=d(x,Tx)$. 因 $X$ 是紧度量空间, $f$ 在某点 $p\in X$ 达到最小值, 记 $m=f(p)={\min }_{x\in X}f(x)\ge 0$.

下证 $m=0$. 若 $m>0$, 则 $p\ne Tp$. 取 $q=Tp$, 由于 $p\ne Tp$, 由条件得 $$f(q)=d(q,Tq)=d(Tp,T^{2}p)<d(p,Tp)=f(p)=m,$$ 这与 $m$ 是最小值矛盾. 故 $m=0$, 于是 $f(p)=0$, 即 $d(p,Tp)=0$, 所以 $Tp=p$, $p$ 是 $T$ 的不动点.

再证唯一性. 设 $p_1,p_2$ 均为 $T$ 的不动点. 若 $p_1\ne p_2$, 则由条件 $$d(p_1,p_2)=d(T{p}_1,T{p}_2)<d(p_1,p_2),$$ 矛盾. 故 $p_1=p_2$, 不动点唯一.

综上所述, $T$ 在 $X$ 上有唯一不动点. $\square$