习题 1.36

设 $v\in C[0,1]$ 固定, 求证: 存在唯一的 $x\in C[0,1]$, 使得 $$x(t)=\frac{1}{3}\cos (x(t))+v(t),0\le t\le 1.$$

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明 考虑映射 (T: C[0,1] \to C[0,1]) 定义为
$$(Tx)(t)=\frac{1}{3}\cos (x(t))+v(t),t\in [0,1].$$
由于 (v\in C[0,1]) 且 (\cos) 连续，复合后 (Tx) 仍是 ([0,1]) 上的连续函数，故 (T) 是良定义的。

在 (C[0,1]) 上赋予上确界范数 (|x| = \max_{t\in[0,1]} |x(t)|)，这是一个 Banach 空间。

对任意 (x, y\in C[0,1])，由中值不等式 (|\cos u - \cos v| \le |u-v|)（因为 (\cos’ = -\sin) 满足 (|-\sin\xi| \le 1)），有
$$\begin{array}{rl}\Vert Tx-Ty\Vert & =\underset{t\in [0,1]}{\max }\left|\frac{1}{3}\cos (x(t))-\frac{1}{3}\cos (y(t))\right|\\ & =\frac{1}{3}\underset{t\in [0,1]}{\max }|\cos (x(t))-\cos (y(t))|\\ & \le \frac{1}{3}\underset{t\in [0,1]}{\max }|x(t)-y(t)|=\frac{1}{3}\Vert x-y\Vert .\end{array}$$
因此 (T) 是一个压缩系数为 (1/3) 的压缩映射。

由 Banach 不动点定理（压缩映射原理），在完备度量空间 (C[0,1]) 中，(T) 存在唯一的不动点 (x)，即
$$x=Tx⟺x(t)=\frac{1}{3}\cos (x(t))+v(t),\forall t\in [0,1].$$
这就证明了满足方程的唯一连续函数 (x) 存在。 ∎