习题 1.37

举例说明 Banach 不动点定理中度量空间 $X$ 的完备性假设是必要条件.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

考虑度量空间 $(X,d)$，其中 $X=(0,1]$，$d(x,y)=|x-y|$（通常的欧氏度量）。

• $X$ 不是完备的：序列 $\{1/n{\}}_{n\ge 1}$ 是 $X$ 中的 Cauchy 列，但它在 $X$ 中收敛到 $0$，而 $0\notin X$，因此在 $X$ 中不收敛。

定义映射 $T:X\to X$ 为 $T(x)=x/2$。

• $T$ 是压缩映射：对任意 $x,y\in X$，
  [ d(Tx, Ty) = |x/2 - y/2| = \frac{1}{2}|x - y| = \frac{1}{2} d(x, y), ]
  取常数 $k=1/2\in [0,1)$，满足压缩条件。
• $T$ 没有不动点：若存在 $x^{\ast }\in X$ 使得 $T(x^{\ast })=x^{\ast }$，则 $x^{\ast }/2=x^{\ast }$，推出 $x^{\ast }=0$。但 $0\notin X$，矛盾。

因此，在 Banach 不动点定理中，度量空间 $X$ 的完备性假设是不可或缺的。